Значајке једнакокрачног трокута, формула и подручје, прорачун



А једнакокраки троугао То је тространи полигон, где два од њих имају исто мерење, а трећа страна различито мерење. Ова последња страна се зове база. Због ове карактеристике је добила ово име, које на грчком значи "једнаке ноге".

Троуглови су полигони који се сматрају најједноставнијим у геометрији, јер су формирани са три стране, три угла и три врха. То су они који имају најмањи број страна и углова у односу на друге полигоне, али је његова употреба веома опсежна.

Индек

  • 1 Карактеристике једнакокрачних троуглова
    • 1.1 Компоненте
  • 2 Својства
    • 2.1 Унутрашњи углови
    • 2.2 Збир страна
    • 2.3 Одговарајуће стране
    • 2.4 Одговарајући углови
    • 2.5 Висина, средина, симетрала и симетрала су подударни
    • 2.6 Релативне висине
    • 2.7 Ортхоцентер, барицентер, инцентер и цирцумцентер коинцидирају
  • 3 Како израчунати периметар?
  • 4 Како израчунати висину?
  • 5 Како израчунати подручје?
  • 6 Како израчунати базу троугла?
  • 7 Вежбе
    • 7.1 Прва вежба
    • 7.2 Друга вежба
    • 7.3 Трећа вјежба
  • 8 Референце

Карактеристике једнакокрачних троуглова

Једнакокраки троугао је класификован коришћењем мере његових страна као параметар, пошто су две његове стране конгруентне (имају исту дужину).

Према амплитуди унутрашњих углова, једнакокрачни троуглови су класификовани као:

  • Правокутни једнакокрачан трокут: две његове стране су једнаке. Један од његових углова је раван (90. \ То), а остали су исти (45о сваки)
  • Троугао једноликог тупог угла: две његове стране су једнаке. Један од његових углова је туп (> 90о).
  • Једноделни акутни троугао под углом: две његове стране су једнаке. Сви његови углови су оштри (< 90о), гдје двије имају исту мјеру.

Компоненте

  • Медијан: је линија која излази из средине једне стране и достиже супротни врх. Три медијана се слажу у тачки званој центроид или центроид.
  • Симбол: је зрак који дијели кут сваког врха на два кута једнаке величине. Зато је познат као ос симетрије и овај тип троуглова има само један.
  • Медиатрик: је сегмент окомит на страну трокута, који настаје у средини овога. Постоје три медиатицес у троуглу и они се слажу у тачки званој цирцунцентро.
  • Висина: је линија која иде од врха ка страни која је супротна, а такође је та линија окомита на ту страну. Сви троуглови имају три висине, које се поклапају у тачки званој ортхоцентер.

Пропертиес

Једнакокраки троуглови су дефинисани или идентификовани зато што имају неколико својстава која их представљају, настали из теорема које су предложили велики математичари:

Унутрашњи углови

Збир унутрашњих углова је увек једнак 180о.

Збир страна

Збир мера две стране мора увек бити већи од мере треће стране, а + б> ц.

Цонгруент сидес

Једнакокраки троуглови имају две стране исте мере или дужине; то јест, они су конгруентни и трећа страна се разликује од њих.

Цонгруент англес

Једнакокраки троуглови су познати и као троуглови изо-углова, јер имају два угла који имају исту меру (конгруенти). Они се налазе на дну троугла, супротно странама које имају исту дужину.

Због тога, теорема која утврђује:

"Ако троугао има две конгруентне стране, углови супротни тим странама ће такође бити подударни." Према томе, ако је троугао једнакострук, углови његових база су подударни.

Пример:

Следећа слика приказује троугао АБЦ. Пратећи своју симетралу од врха угла Б до базе, троугао је подељен на два троугла једнака БДА и БДЦ:

Тако је и угао врха Б подељен у два једнака угла. Симетрала је сада страна (БД) заједничка између та два нова троугла, док су стране АБ и БЦ сукладне стране. Дакле, имате случај конгруенције, кута, стране (ЛАЛ).

Ово показује да углови вертикала А и Ц имају исту меру, као што се може показати да су троуглови БДА и БДЦ кон - гурантни, а АД и ДЦ стране су такође подударне..

Висина, медијана, симетрала и симетрала су истовремени

Линија која је повучена од врха наспрам базе до средине базе једнакокрачног троугла, истовремено је висина, медијана и симетрала, као и симетрала у односу на супротни угао базе.

Сви ови сегменти се поклапају у оном који их представља.

Пример:

На следећој слици приказан је троугао АБЦ са средњом тачком М која дели базу на два сегмента БМ и ЦМ.

Када нацртате сегмент од тачке М до супротног врха, по дефиницији добијате медијан АМ, који је релативан на врх А и БЦ страну.

Будући да АМ сегмент дели троугао АБЦ на два једнака троугла АМБ и АМЦ, то значи да ће се узети случај бочне, угловне, бочне конгруенције и АМ ће такође бити симетрала БЦ.

Због тога ће симетрала увек бити једнака медиани и обрнуто.

АМ сегмент формира углове који имају исту мјеру за АМБ и АМЦ трокуте; то јест, они су допунски на такав начин да ће свака мјера бити:

Мед. (АМБ) + Мед. (АМЦ) = 180о

2 * Мед. (АМЦ) = 180о

Мед. (АМЦ) = 180о . 2

Мед. (АМЦ) = 90о

Може се знати да су углови формирани АМ сегментом у односу на базу троугла равни, што указује да је овај сегмент потпуно окомит на базу.

Стога представља висину и симетралу, знајући да је М средина.

Због тога правац АМ:

  • Представља висину БЦ.
  • Средње је.
  • Она се налази у медијалици БЦ.
  • То је симетрала кута темена А

Релативна висина

Висине које су у односу на једнаке стране такође имају исту мјеру.

Будући да једнакокрачан троугао има две једнаке стране, њихове две одговарајуће висине такође ће бити једнаке.

Ортхоцентер, барицентер, инцентер и цирцумцентер коинцидирају

Како су висина, медијана, симетрала и симетрала у односу на базу истовремено представљени истим сегментом, ортоцентар, центроцентрични потицај и циркумцентар ће бити колинеарне тачке, тј. Оне ће бити на истој линији:

Како израчунати периметар?

Обим полигона се израчунава сумом страна.

Како у овом случају једнакокрачан троугао има две стране са истом мером, његов периметар се израчунава следећом формулом:

П = 2*(страна а) + (страна б).

Како израчунати висину?

Висина је линија која је окомита на базу, дели троугао на два једнака дела тако што се протеже до супротног врха.

Висина представља супротну ногу (а), половину базе (б / 2) до суседне ноге, а "а" страну представља хипотенузу.

Користећи Питагорину теорему, можете одредити вредност висине:

а2 + б2 = ц2

Где:

а2 = висина (х).

б2 = б / 2.

ц2 = сиде а.

Замењујући ове вредности у Питагориној теореми, и чистом висином имамо:

х2 + (б / 2)2 = а2

х2 + б2 / 4 = а2

х2 = а2 - б2 / 4

х = √ (а2 - б2 / 4).

Ако је познати угао који чине конгруентне стране, висина се може израчунати следећом формулом:

Како израчунати подручје?

Површина троуглова се увек израчунава истом формулом, множењем базе по висини и дељењу на две:

Постоје случајеви у којима су позната само мерења две стране троугла и угао између њих. У овом случају, за одређивање површине потребно је применити тригонометријске односе:

Како израчунати базу троугла?

Како једнакокраки троугао има две једнаке стране, да би се одредила вредност његове базе, потребно је да зна барем меру висине или једног од његових углова..

Знајући висину користи се Питагорина теорема:

а2 + б2 = ц2

Где:

а2 = висина (х).

ц2 = сиде а.

б2 = б / 2, није познато.

Очистили смо б2 формуле и морамо:

б2 = а2 - ц2

б = √ а2 - ц2

Пошто ова вредност одговара половини базе, она се мора множити са два да би се добила потпуна мера базе једнакокрачног троугла:

б = 2 * (. А2 - ц2)

У случају да је позната само вредност његових једнаких страна и угао између њих, примењује се тригонометрија, пратећи линију од темена до базе која дели једнакокраки троугао на два правоугаоника.

На овај начин, половина основице се рачуна са:

Такође је могуће да је позната само вредност висине и угла врха који је супротан од базе. У том случају помоћу тригонометрије би се могла одредити база:

Вежбе

Прва вежба

Нађите подручје једнакокрачног троугла АБЦ, знајући да двије његове стране мјере 10 цм, а трећа страна 12 цм.

Решење

Да би се пронашла површина троугла потребно је израчунати висину помоћу формуле подручја које је повезано са Питагорејском теоремом, будући да није позната вриједност кута формираног између једнаких страна..

Имамо следеће податке о једнакокрачном троуглу:

  • Једнаке стране (а) = 10 цм.
  • База (б) = 12 цм.

Вредности у формули су замењене:

Друга вежба

Дужина две једнаке стране једнакокрачног троугла мери 42 цм, а спој ових страна формира угао од 130о. Одредите вредност треће стране, подручје тог троугла и периметар.

Решење

У овом случају позната су мерења страна и угао између њих.

Да би се знала вредност недостајуће стране, тј. Базе тог троугла, линија је нацртана окомито на њу, делећи угао на два једнака дела, један за сваки правоугаони троугао.

  • Једнаке стране (а) = 42 цм.
  • Угао (Ɵ) = 130о

Сада се тригонометријом израчунава вредност половине базе, што одговара половини хипотенузе:

За израчунавање површине потребно је знати висину тог трокута који се може израчунати тригонометријом или Питагорином теоремом, сада када је вриједност базе већ одређена.

Према тригонометрији то ће бити:

Обим се рачуна:

П = 2*(страна а) + (страна б).

П = 2* (42 цм) + (76 цм)

П = 84 цм + 76 цм

П = 160 цм.

Трећа вежба

Израчунајте унутрашње углове једнакокрачног троугла, знајући да је угао основе = 55о

Решење

Да бисте пронашли два недостајућа угла (О и О) потребно је запамтити два својства троуглова:

  • Збир унутрашњих углова сваког троугла ће увек бити = 180о:

А + Е + О = 180 о

  • У једнакокрачном троуглу, углови базе су увек конгруентни, тј. Имају исту меру, дакле:

А = О

55 = 55о

Да бисте одредили вредност угла Е, замените вредности других углова у првом правилу и очистите:

55о + 55о + 180 = 180 о

110 о + 180 = 180 о

180 = 180 о - 110 о

70 = 70 о.

Референце

  1. Алварез, Е. (2003). Елементи геометрије: са бројним вежбама и геометријом компаса. Универзитет у Меделлину.
  2. Алваро Рендон, А. Р. (2004). Техничко цртање: биљежница активности.
  3. Ангел, А.Р. (2007). Елементари Алгебра Пеарсон Едуцатион.
  4. Артхур Гоодман, Л.Х. (1996). Алгебра и тригонометрија са аналитичком геометријом. Пеарсон Едуцатион.
  5. Балдор, А. (1941). Алгебра Хавана: Култура.
  6. Јосе Јименез, Л. Ј. (2006). Математика 2.
  7. Тума, Ј. (1998). Енгинееринг Матхематицс Хандбоок. Волфрам МатхВорлд.