Карактеристике скалног троугла, формула и области, прорачун



А скален троугао То је тространи полигон, где свако има различита мерења или дужине; из тог разлога добија име скален, што на латинском значи пењање.

Троуглови су полигони који се сматрају најједноставнијим у геометрији, јер се формирају три стране, три угла и три врха. У случају скаленског троугла, јер има све различите стране, то значи да ће и његова три угла бити различита..

Индек

  • 1 Карактеристике скаленских троуглова
    • 1.1 Компоненте
  • 2 Својства
    • 2.1 Унутрашњи углови
    • 2.2 Збир страна
    • 2.3 Недоследне стране
    • 2.4 Инцонгруент углови
    • 2.5 Висина, средина, симетрала и симетрала нису подударни
    • 2.6 Ортхоцентер, барицентер, инцентер и цирцумцентер нису случајни
    • 2.7 Релативне висине
  • 3 Како израчунати периметар?
  • 4 Како израчунати подручје?
  • 5 Како израчунати висину?
  • 6 Како израчунати стране?
  • 7 Вежбе
    • 7.1 Прва вежба
    • 7.2 Друга вежба
    • 7.3 Трећа вјежба
  • 8 Референце

Карактеристике скаленских троуглова

Троуглови скале су једноставни полигони јер ниједна њихова страна или углови немају исту мјеру, за разлику од једнакокраких и једнакостраничних трокута.

Пошто све његове стране и углови имају различита мерења, ови троуглови се сматрају неправилним конвексним полигонима.

Према амплитуди унутрашњих углова, скаленски троуглови су класификовани као:

  • Троугао правоугаоника: све његове стране су различите. Један од његових углова је раван (90. \ То), а остали су оштри и са различитим мерама.
  • Троугао тупог угла скале: све његове стране су различите и један од његових углова је туп (90)о).
  • Сцале ацут англе триангле: све његове стране су различите. Сви његови углови су оштри (< 90о), са различитим мерама.

Још једна карактеристика скаленских троуглова је да због несагласности њихових страна и углова, они немају осу симетрије.

Компоненте

Медијан: је линија која излази из средине једне стране и достиже супротни врх. Три медијана се слажу у тачки званој центроид или центроид.

Симбол: је зрак који дијели сваки кут на два кута једнаке величине. Симетрале троугла слагају се у тачки названој инцентро.

Медиатрик: је сегмент окомит на страну трокута, који настаје у средини овога. Постоје три медијатере у троуглу и слагају се у тачки која се зове средиште кружења.

Висина: је линија која иде од врха ка страни која је супротна, а такође је та линија окомита на ту страну. Сви троуглови имају три висине које се поклапају у тачки званој ортхоцентер.

Пропертиес

Троуглови скале су дефинисани или идентификовани јер имају неколико својстава која их представљају, настали су из теорема које су предложили велики математичари. Они су:

Унутрашњи углови

Збир унутрашњих углова је увек једнак 180о.

Збир страна

Збир мера две стране мора увек бити већи од мере треће стране, а + б> ц.

Недоследне стране

Све стране скаленских троуглова имају различите мере или дужине; то јест, они су неподударни.

Инцонсистент англес

Пошто су све стране скален троугла различите, њихови углови ће такође бити различити. Међутим, сума унутрашњих углова ће увек бити једнака 180º, ау неким случајевима, један од њених углова може бити туп или раван, док ће у другим свим угловима бити акутни.

Висина, средина, симетрала и симетрала нису подударни

Као и сваки троугао, скален има неколико сегмената равних линија које га чине, као што су: висина, медијана, симетрала и симетрала.

Због посебности његових страна, у овом типу трокута ниједна од ових линија се неће подударати у једној јединици.

Ортхоцентер, барицентер, инцентер и цирцумцентер нису случајни

Пошто су висина, медијана, симетрала и симетрала представљени различитим сегментима равних линија, у скаленском троуглу се налазе тачке сусрета - ортхоцентер, центроцентер, инцентер и цирцумцентер - у различитим тачкама (оне се не поклапају).

У зависности од тога да ли је троугао акутан, правоугаони или скален, ортоцентар има различите локације:

а. Ако је троугао акутан, ортоцентар ће бити унутар троугла.

б. Ако је троугао правоугаоник, ортоцентар ће се подударати са врхом равне стране.

ц. Ако је троугао туп, ортоцентар ће се налазити изван троугла.

Релативна висина

Висине су у односу на стране.

У случају скален трокута ове висине ће имати различита мерења. Сваки троугао има три релативне висине и за израчунавање се користи формула Херон.

Како израчунати периметар?

Обим полигона се израчунава сумом страна.

Како у овом случају скален троугао има све своје стране са различитим мерама, његов периметар ће бити:

П = страна а + страна б + страна ц.

Како израчунати подручје?

Површина троуглова се увек израчунава истом формулом, множењем базе по висини и дељењу на две:

Површина = (база * х). 2

У неким случајевима висина скален троугла није позната, али постоји формула коју је предложила математичар Херон, да израчуна површину знајући мерење три стране троугла..

Где:

  • а, б и ц, представљају стране троугла.
  • сп, одговара полупериметру троугла, тј. половини периметра:

сп = (а + б + ц). 2

У случају да имате само мерење две стране троугла и угао који се формира између њих, површина се може израчунати применом тригонометријских односа. Дакле, морате:

Ареа = (страна * х). 2

Тамо где је висина (х) производ једне стране синусом супротног угла. На пример, за сваку страну, подручје ће бити:

  • Површина = (б * ц * сен А) 2
  • Област = (а * ц * сен Б) 2.
  • Област = (а * б * сен Ц) 2

Како израчунати висину?

Пошто су све стране скален трокута различите, није могуће израчунати висину са Питагорејском теоремом..

Из формуле Херон, која се заснива на мерењу три стране троугла, може се израчунати површина.

Висина се може избрисати из опште формуле подручја:

Страна је замењена мерењем стране а, б или ц.

Други начин за израчунавање висине када је позната вриједност једног од углова је примјена тригонометријских омјера, гдје ће висина представљати ногу трокута..

На пример, када је познат супротан угао до висине, одредиће га синус:

Како израчунати стране?

Када имате меру две стране и угао супротан њима, могуће је одредити трећу страну применом теореме косинуса..

На пример, у троуглу АБ, уцртана је висина у односу на сегмент АЦ. На тај начин троугао је подељен у два правоугаоника.

За израчунавање ц-стране (сегмент АБ), Питхагореан теорем се примењује за сваки троугао:

  • За плави трокут морате:

ц2 = х2 + м2

Као м = б - н, замењује се:

ц2 = х2 + б2 (б - н)2

ц2 = х2 + б2 - 2бн + н2.

  • За ружичасти троугао морате:

х2 = а2 - н2

Замењује се у претходној једначини:

ц2 = а2 - н2 + б2 - 2бн + н2

ц2 = а2 + б2 - 2бн.

Знајући да је н = а * цос Ц, замењује се у претходној једначини и добија се вредност стране ц:

ц2 = а2 + б2 - 2б* а * цос Ц.

Према Закону о косинусима, стране се могу израчунати као:

  • а2 = б2 + ц2 - 2б* ц * цос А.
  • б2 = а2 + ц2 - 2а* ц * цос Б.
  • ц2 = а2 + б2 - 2б* а * цос Ц.

Постоје случајеви када мјерења страна трокута нису позната, већ њихова висина и углови који се формирају у врховима. Да би се одредило подручје у овим случајевима потребно је примијенити тригонометријске омјере.

Познавајући угао једног од његових врхова, ноге се идентификују и користи се одговарајући тригонометријски однос:

На пример, катхетус АБ ће бити супротан за угао Ц, али у близини угла А. У зависности од стране или катетуса који одговара висини, друга страна је очишћена да би се добила вредност овог.

Вежбе

Прва вежба

Израчунајте површину и висину скаленског троугла АБЦ, знајући да су његове стране:

а = 8 цм.

б = 12 цм.

ц = 16 цм.

Решење

Као подаци дају се мерења три стране скален троугла.

Пошто немате вредност висине, можете одредити област применом Херон формуле.

Прво се израчунава семипериметар:

сп = (а + б + ц). 2

сп = (8 цм + 12 цм + 16 цм). 2

сп = 36 цм ÷ 2

сп = 18 цм.

Сада су вредности у формули Херон замењене:

Знајући подручје се може израчунати релативна висина на б. Из опште формуле, чистећи је:

Ареа = (страна * х). 2

46, 47 цм2 = (12 цм * х). 2

х = (2 * 46.47 цм2) Цм 12 цм

х = 92,94 цм2 Цм 12 цм

х = 7,75 цм.

Друга вежба

С обзиром на скален троугао АБЦ, чије су мјере:

  • Сегмент АБ = 25 м.
  • Сегмент БЦ = 15 м.

На врху Б се формира угао од 50 °. Израчунајте релативну висину на страну ц, обим и површину тог троугла.

Решење

У овом случају имате мере две стране. За одређивање висине потребно је израчунати мјерење треће стране.

Пошто је дат угао који је супротан датим странама, могуће је применити закон косинуса да би се одредило мерење АЦ стране (б):

б2 = а2 + ц2 - 2а*ц * цос Б

Где:

а = БЦ = 15 м.

ц = АБ = 25 м.

б = АЦ.

Б = 50о.

Подаци се замењују:

б2 = (15)2 + (25)2 - 2*(15)*(25) * цос 50

б2 = (225) + (625) - (750) * 0.6427

б2 = (225) + (625) - (482.025)

б2 = 367,985

б = 367,985

б = 19,18 м.

Пошто већ имате вредност три стране, израчунајте обим тог троугла:

П = страна а + страна б + страна ц

П = 15 м + 25 м + 19, 18 м

П = 59,18 м

Сада је могуће одредити подручје применом Херон формуле, али прво се мора израчунати семипериметар:

сп = П. 2

сп = 59,18 м ÷ 2

сп = 29,59 м.

Мјерења страна и полупериметра су замијењена у Херон формули:

Коначно, знајући подручје, може се израчунати релативна висина на страни ц. Из опште формуле, чистећи је морате:

Ареа = (страна * х). 2

143,63 м2 = (25 м * х). 2

х = (2 * 143,63 м2) 25 м

х = 287,3 м2 М 25 м

х = 11,5 м.

Трећа вежба

У скаленском троуглу АБЦ страна б мери 40 цм, страна ц мери 22 цм, ау врху А формира се угао од 90 цм.о. Израчунајте површину тог троугла.

Решење

У овом случају дата су мерења две стране скаленског троугла АБЦ, као и угао који се формира на врху А.

Да би се одредила површина, није потребно израчунати меру стране а, јер се кроз тригонометријски однос користи кут за проналажење..

Пошто је познати супротни угао од висине, то ће бити одређено производом на једној страни и синусом угла.

Замењујући формулу подручја морате:

  • Ареа = (страна * х). 2
  • х = ц * сен А

Површина = (б * ц * сен А) 2

Површина = (40 цм * 22 цм * сен 90) 2

Површина = (40 цм * 22 цм * 1) 2

Површина = 880 цм2 . 2

Површина = 440 цм2.

Референце

  1. Алваро Рендон, А. Р. (2004). Техничко цртање: биљежница активности.
  2. Ангел Руиз, Х. Б. (2006). Геометриес ЦР Технологија, .
  3. Ангел, А.Р. (2007). Елементари Алгебра Пеарсон Едуцатион,.
  4. Балдор, А. (1941). Алгебра Хавана: Култура.
  5. Барбоса, Ј.Л. (2006). Флат Еуцлидеан Геометри. Рио де Жанеиро,.
  6. Цокетер, Х. (1971). Основе геометрије Мексико: Лимуса-Вилеи.
  7. Даниел Ц. Алекандер, Г. М. (2014). Елементарна геометрија за студенте. Ценгаге Леарнинг.
  8. Харпе, П. д. (2000). Теме у геометријској теорији група. Университи оф Цхицаго Пресс.