Карактеристике, својства, формуле и подручје једнакостраничног трокута



А једнакостранични троугао то је полигон са три стране, где су сви једнаки; то јест, они имају исту мјеру. За ту карактеристику је добила име једнакостраничних (једнаких страна).

Троуглови су полигони који се сматрају најједноставнијим у геометрији, јер се формирају три стране, три угла и три врха. У случају једнакостраничног троугла, са једнаким странама, подразумева се да ће бити и његова три угла.

Индек

  • 1 Карактеристике једнакостраничних троуглова
    • 1.1 Једнаке стране
    • 1.2 Компоненте
  • 2 Својства
    • 2.1 Унутрашњи углови
    • 2.2 Спољни углови
    • 2.3 Збир страна
    • 2.4 Одговарајуће стране
    • 2.5 Одговарајући углови
    • 2.6 Симетрала, медијана и медиатрика се поклапају
    • 2.7 Симетрала и висина се подударају
    • 2.8 Ортхоцентер, барицентер, инцентер и цирцумцентер коинцидирају
  • 3 Како израчунати периметар?
  • 4 Како израчунати висину?
  • 5 Како израчунати стране?
  • 6 Како израчунати подручје?
  • 7 Вежбе
    • 7.1 Прва вежба
    • 7.2 Друга вежба
    • 7.3 Трећа вјежба
  • 8 Референце

Карактеристике једнакостраничних троуглова

Једнаке стране

Једнакострани трокути су равне и затворене фигуре, састављене од три сегмента равних линија. Троуглови се класификују по својим карактеристикама, у односу на њихове стране и углове; једнакостраничан је класификован коришћењем мере његових страна као параметар, пошто су они потпуно исти, тј..

Једнакостранични троугао је посебан случај једнакокрачног троугла зато што су две његове стране конгруентне. Због тога су сви једнакостранични троуглови једнакокраки, али нису сви једнакокрачни троуглови једнакостранични.

На овај начин једнакостранични троуглови имају иста својства једнакокрачног троугла.

Једнакострани трокути се могу класификовати и амплитудом њихових унутрашњих углова као једнакостранични угаони троугао, који има три стране и три унутрашња угла са истом мјером. Кутови ће бити оштри, односно мање од 90о.

Компоненте

Троуглови генерално имају неколико редова и тачака које га чине. Користе се за израчунавање површине, страница, углова, медијана, симетрала, вертикале и висине.

  • Медијан: је линија која излази из средине једне стране и достиже супротни врх. Три медијана се слажу у тачки званој центроид или центроид.
  • Симбол: је зрак који дијели кут вертикала у два кута једнаке величине, зато је познат као ос симетрије. Једнакостраничан троугао има три осе симетрије.

У једнакостраничном троуглу симетрала се повлачи од врха угла до његове супротне стране, резањем на средини. Они се слажу у тачки која се зове инцентро.

  • Медиатрик: је сегмент окомит на страну троугла која настаје у средини овога. Постоје три медиатицес у троуглу и они се слажу у тачки званој цирцунцентро.
  • Висина: је линија која иде од врха ка страни која је супротна, а такође је та линија окомита на ту страну. Сви троуглови имају три висине које се поклапају у тачки званој ортхоцентер.

Пропертиес

Главно својство једнакостраничних троуглова је да ће они увек бити једнакокрачни троуглови, будући да су једнакокраке формиране од стране две конгруентне стране, а једнакостране три.

На тај начин, једнакостранични троуглови су наследили сва својства једнакокрачног троугла:

Интернал Англес

Збир унутрашњих углова је увек једнак 180о, и пошто су сви његови углови конгруентни, онда ће сваки од њих мерити 60о.

Ектернал Англес

Збир спољних углова ће увек бити једнак 360о, стога ће сваки вањски кут мјерити 120о. То је зато што су унутрашњи и спољашњи углови допунски, тј. Додавање ће увек бити једнако 180о.

Збир страна

Збир мера две стране мора увек бити већи од мере треће стране, тј. А + б> ц, где су а, б и ц мерења сваке стране.

Цонгруент сидес

Једнакостранични троугли имају своје три стране исте мјере или дужине; то јест, они су подударни. Дакле, у претходној ставци имамо а = б = ц.

Цонгруент англес

Једнакострани троуглови су такође познати као једнакокутни троуглови, јер су њихова три унутрашња угла међусобно подударна. То је зато што све његове стране имају исту мјеру.

Симетрала, медиана и медиатрик су коинциденције

Симетрала дели страну троугла на два дела. У једнакостраничним троугловима та страна ће бити подељена на два тачно једнака дела, тј. Троугао ће бити подељен у два одговарајућа десна троугла..

Дакле, симетрала извучена из било ког угла једнакостраничног троугла поклапа се са медијаном и симетралом супротне стране тог угла.

Пример:

На следећој слици приказан је троугао АБЦ са средњом тачком Д која дели једну страну на два сегмента АД и БД.

Када нацртате линију од тачке Д до супротног врха, по дефиницији добијате медијан ЦД-а, који је релативан на врх Ц и АБ страну.

Пошто ЦД сегмент дели троугао АБЦ на два троугла једнака ЦДБ и ЦДА, то значи да ћемо имати случај конгруенције: бочни, угао, бочни и стога ће и ЦД бити симетрала БЦД-а..

Приликом цртања ЦД сегмента, поделите угао врха у два једнака угла од 30о, угао врха А наставља да мери 60о и прави ЦД формира угао од 90о у односу на средину Д.

Сегментни ЦД формира углове који имају иста мјерења за трокуте АДЦ и БДЦ, тј. Они су допунски на такав начин да ће мјерење сваког од њих бити:

Мед. (АДБ) + Мед. (АДЦ) = 180о

2 * Мед. (АДЦ) = 180о

Мед. (АДЦ) = 180о . 2

Мед. (АДЦ) = 90о.

И тако, имате да је ЦД сегмент такође симетрала АБ стране.

Симетрала и висина се подударају

Када повучете симетралу од врха угла до средине супротне стране, она дели једнакостранични троугао на два конгруентна троугла.

На такав начин да се формира угао од 90 °о (равно). Ово указује да је овај сегмент линије потпуно окомит на ту страну, а по дефиницији линија би била висина.

На тај начин, симетрала било ког угла једнакостраничног троугла поклапа се са релативном висином на супротној страни тог угла.

Ортхоцентер, барицентер, инцентер и цирцумцентер коинцидирају

Пошто су висина, медијана, симетрала и симетрала представљени у исто време истим сегментом, у једнакостраничном троуглу, тачке сусрета ових сегмената - ортоцентар, барицентар, инцентер и цирцумцентер-, биће у истој тачки:

Како израчунати периметар?

Обим полигона се израчунава сумом страна. Пошто у овом случају једнакостранични троугао има све своје стране са истом мером, његов периметар се израчунава следећом формулом:

П = 3 * страни.

Како израчунати висину?

Пошто је висина линија која је окомита на базу, она је дели на два једнака дела тако што се протеже до супротног врха. Тако се формирају два једнака правоугаоника.

Висина (х) представља супротну страну (а), пола стране АЦ до суседне стране (б) и страна БЦ представља хипотенузу (ц).

Користећи Питагорину теорему, можете одредити вредност висине:

а2 + б2= ц2

Где:

а2 = висина (х).

б2 = страна б / 2.

ц2 = сиде а.

Замењујући ове вредности у Питагориној теореми, и чистом висином имамо:

х2 + ( л / 2)2 = л2

х2 +  л2/ \ Т 4 = л2

х2 = л2  -  л2/ \ Т 4

х2 = (4*л2 -  л2) / \ Т 4

х2 =  3*л2/ \ Т4

√х2 = √ (3*л2/ \ Т4)

Ако је познати угао који чине конгруентне стране, висина (представљена ногом) може се израчунати применом тригонометријских односа.

Ноге се називају супротне или суседне у зависности од угла који се узима као референца.

На пример, у претходној слици, катхетус х ће бити супротан за угао Ц, али уз угао Б:

Дакле, висина се може израчунати са:

Како израчунати стране?

Постоје случајеви када мерења страна троугла нису позната, али њихова висина и углови који се формирају у врховима.

Да би се одредило подручје у овим случајевима потребно је примијенити тригонометријске омјере.

Познавајући угао једног од његових врхова, ноге се идентификују и користи се одговарајући тригонометријски однос:

Дакле, нога АБ, ће бити супротна за угао Ц, али у близини угла А. У зависности од стране или ногу која одговара висини, друга страна је очишћена да би се добила вредност овога, знајући да су у једнакостраничном троуглу три стране ће увек имати исту величину.

Како израчунати подручје?

Површина троуглова се увек израчунава истом формулом, множењем базе по висини и дељењу на две:

Површина = (б * х). 2

Знајући да је висина дата по формули:

Вежбе

Прва вежба

Стране једнакостраничног троугла АБЦ мере 20 цм свака. Израчунајте висину и површину тог полигона.

Решење

Да би се одредила површина тог једнакостраничног троугла потребно је израчунати висину, знајући да при цртању она дели троугао на два једнака правоугаоника..

На тај начин се Питагорина теорема може користити за њено проналажење:

а2 + б2= ц2

Где:

а = 20/2 = 10 цм.

б = висина.

ц = 20 цм.

Подаци у теореми се замењују:

102 + б2 = 202

100 цм + б2 = 400 цм

б2 = (400 - 100) цм

б2 = 300цм

б = 300 цм

б = 17,32 цм.

То значи да је висина троугла једнака 17.32цм. Сада је могуће израчунати површину датог троугла заменом у формули:

Површина = (б * х). 2

Површина = (20 цм * 17,32 цм) 2

Површина = 346,40 цм2 . 2

Површина = 173,20 цм2.

Још један једноставнији начин за рјешавање вјежбе је замјена података у директној формули подручја, гдје је вриједност висине такођер имплицитно:

Друга вежба

У земљи која има облик једнакостраничног троугла, цвеће ће бити засађено. Ако је периметар тог земљишта једнак 450 м, израчунајте број квадратних метара које заузима цвијеће.

Решење

Знајући да обим троугла одговара суми његових трију страна и како терен има облик једнакостраничног троугла, три стране овог троугла ће имати исту меру или дужину:

П = страна + страна + страна = 3 * л

3 * л = 450 м.

л = 450 м ÷ 3

л = 150 м.

Сада је потребно само израчунати висину тог трокута.

Висина дели троугао на два одговарајућа десна троугла, где једна од ногу представља висину, а друга половина базе. Према Питагориној теореми, висина се може одредити:

а2 + б2= ц2

Где:

а = 150 м 2 = 75 м.

ц = 150 м.

б = хеигхт

Подаци у теореми се замењују:

(75 м)2+ б2 = (150 м)2

5.625 м + б2 = 22.500 м

б2 = 22.500 м - 5.625 м

б2 = 16,875 м

б = 7516,875 м

б = 129,90 м.

Тако ће подручје које ће заузети цвијеће бити:

Област = б * х ÷ 2

Површина = (150 м * 129,9 м). 2

Површина = (19.485 м2) ÷ 2

Површина = 9,742.5 м2

Трећа вежба

Једнакостраничан троугао АБЦ је подељен линијским сегментом који иде од његове тачке Ц до средине Д, која се налази на супротној страни (АБ). Овај сегмент мери 62 метра. Израчунајте површину и обим тог једнакостраничног троугла.

Решење

Знајући да је једнакостраничан троугао подељен линијским сегментом који одговара висини, формирајући тако два одговарајућа десна троугла, ово заузврат такође дели угао врха Ц у два угла са истом меромо сваки.

Висина чини угао од 90о у односу на сегмент АБ, а угао врха А ће тада измерити 60о.

Затим користи као референтни угао од 30о, висина ЦД-а се успоставља као нога која се граничи са углом и БЦ као хипотенуза.

Из ових података може се одредити вредност једне од страна троугла, користећи тригонометријске односе:

Пошто у једнакостраничном троуглу све стране имају исту меру или дужину, то значи да је свака страна једнакостраничног троугла АБЦ једнака 71,6 метара. Знајући то, могуће је одредити вашу област:

Област = б * х ÷ 2

Површина = (71,6 м * 62 м) 2

Површина = 4.438,6 м2 . 2

Површина = 2.219,3 м2

Периметар је дат сумом три стране:

П = страна + страна + страна = 3 * л

П = 3*л

П = 3 * 71.6 м

П = 214,8 м.

Референце

  1. Алваро Рендон, А. Р. (2004). Техничко цртање: биљежница активности.
  2. Артхур Гоодман, Л.Х. (1996). Алгебра и тригонометрија са аналитичком геометријом. Пеарсон Едуцатион.
  3. Балдор, А. (1941). Алгебра Хавана: Култура.
  4. БАРБОСА, Ј. Л. (2006). Флат Еуцлидеан Геометри. СБМ. Рио де Жанеиро, .
  5. Цокфорд, А. (1971). Геометрија Приступ трансформације. УСА: Лаидлав Бротхерс.
  6. Еуцлид, Р.П. (1886). Еуклидови елементи геометрије.
  7. Хецтор Трејо, Ј.С. (2006). Геометрија и тригонометрија.
  8. Леон Фернандез, Г. С. (2007). Интегратед Геометри Метрополитан Тецхнологицал Институте.
  9. Сулливан, Ј. (2006). Алгебра и тригонометрија Пеарсон Едуцатион.