Демонстрација и примјери биномне теореме



Тхе биномна теорема је једначина која нам говори како да развијемо израз облика (а + б)н за неки природни број н. Биномни није више од збира два елемента, као што је (а + б). Такође нам дозвољава да знамо за термин који је дао акбн-к који је коефицијент који иде уз њега.

Ова теорема се обично приписује енглеском изумитељу, физичару и математичару Сир Исааку Невтону; међутим, пронађено је неколико записа који указују на то да је на Блиском истоку његово постојање било познато већ око 1000. године.

Индек

  • 1 комбинаторни бројеви
  • 2 Демонстрација
  • 3 Примери
    • 3.1 Идентитет 1
    • 3.2 Идентитет 2
  • Још једна демонстрација
    • 4.1 Демонстрација индукцијом
  • 5 Цуриоситиес
  • 6 Референце

Комбинаторски бројеви

Биномна теорема математички нам говори следеће:

У овом изразу а и б су реални бројеви, а н је природни број.

Пре него што покажемо демонстрацију, да видимо неке основне појмове који су неопходни.

Комбинаторни број или комбинације н у к се изражавају на следећи начин:

Ова форма изражава вредност колико подскупа са к елементима може бити изабрано из скупа н елемената. Његова алгебарска експресија је дата:

Да видимо пример: претпоставимо да имамо групу од седам лопти, од којих су две црвене, а остале плаве.

Желимо да знамо колико их можемо наручити за редом. Један од начина могао би бити да се стави два црвена у прву и другу позицију, а остатак лопти у преостале позиције.

Слично претходном случају, црвеним куглицама можемо дати прву и последњу позицију, а остале заузети плавим лоптицама.

Ефикасан начин да се израчуна колико начина можемо наручити лоптице у реду је да користимо комбинаторне бројеве. Сваку позицију можемо да видимо као елемент следећег скупа:

Затим је потребно само изабрати подскуп од два елемента, у којима сваки од ових елемената представља позицију коју ће заузети црвене кугле. Овакав избор можемо направити у односу на:

На тај начин имамо 21 начин да се таква кугла сортирају.

Општа идеја овог примера ће бити веома корисна у демонстрацији биномне теореме. Погледајмо конкретан случај: ако је н = 4, имамо (а + б)4, што није ништа више од:

Када развијемо овај производ, имамо суму термина добијених множењем елемента сваког од четири фактора (а + б). Тако ћемо имати термине који ће бити у облику:

Ако желимо да добијемо термин форме4, само помножите на следећи начин:

Имајте на уму да постоји само један начин да се добије овај елемент; али шта се дешава ако сада тражимо термин форме2б2? Пошто су "а" и "б" реални бројеви и, стога, је валидан комутативни закон, имамо начин да добијемо тај израз да се множи са члановима као што је назначено стрелицама.

Обављање свих ових операција је обично помало заморно, али ако видимо термин "а" као комбинацију у којој желимо да знамо на који начин можемо изабрати два "а" из групе од четири фактора, можемо користити идеју претходног примера. Дакле, ми имамо следеће:

Дакле, знамо да у коначном развоју израза (а + б)4 имаћемо тачно 6а2б2. Користећи исту идеју за друге елементе, морате:

Затим додамо раније добијене изразе и морамо:

То је формална демонстрација за општи случај у којем је "н" било који природни број.

Демонстрација

Имајте на уму да термини који остају при развоју (а + б)н су форме докбн-к, где је к = 0,1, ..., н. Користећи идеју претходног примера, можемо изабрати "к" варијабле "а" из "н" фактора је:

Одабиром на овај начин, аутоматски бирамо н-к варијабле "б". Из овога следи да:

Примери

С обзиром на (а + б)5, Шта би био његов развој?

По биномној теореми морамо:

Биномна теорема је веома корисна ако имамо израз у коме желимо да знамо шта је коефицијент специфичног термина без потребе за пуним развојем. Као примјер можемо узети сљедеће питање: који је коефицијент к7и9 у развоју (к + и)16?

По биномној теореми, имамо да је коефицијент:

Други пример би био: који је коефицијент к5и8 у развоју (3к-7и)13?

Прво преписујемо израз на прикладан начин; ово је:

Затим, користећи биномну теорему, имамо да је жељени коефицијент када имамо к = 5

Други пример коришћења ове теореме је у демонстрирању неких заједничких идентитета, као што су они наведени испод.

Идентитет 1

Ако је "н" природан број, морамо:

За демонстрацију користимо биномну теорему, где и "а" и "б" узимају вредност 1. Онда имамо:

На тај начин смо доказали први идентитет.

Идентитет 2

Ако је "н" природни број, онда

По биномној теореми морамо:

Још једна демонстрација

Можемо направити другачију демонстрацију за биномну теорему користећи индуктивни метод и паскални идентитет, што нам говори да ако су "н" и "к" позитивни цели бројеви који задовољавају н ≥ к, онда:

Демонстрација индукцијом

Прво да видимо да је индуктивна база испуњена. Ако је н = 1, морамо:

Заиста, видимо да је испуњено. Нека је н = ј тако да је испуњено:

Желимо да видимо да је за н = ј + 1 испуњено:

Дакле, морамо:

По хипотези знамо да:

Затим, коришћењем дистрибутивног својства:

Након тога, развијајући сваку од сумација, имамо:

Сада, ако се групирамо на прикладан начин, морамо:

Користећи идентитет паскала, морамо:

Коначно, имајте на уму да:

Дакле, видимо да је биномна теорема испуњена за све "н" који припадају природном броју, а тиме и завршава тест..

Цуриоситиес

Комбинаторски број (нк) се такође назива биномни коефицијент јер се управо коефицијент појављује у развоју биномног (а + б).н.

Исак Њутн дао је генерализацију ове теореме за случај у коме је експонент реални број; ова теорема је позната као Невтонова биномна теорема.

Већ у антици овај резултат је био познат за посебан случај у којем је н = 2. Овај случај се помиње у Елементи оф Еуцлидес.

Референце

  1. Јохнсонбаугх Рицхард. Дискретна математика ПХХ
  2. Кеннетх.Х. Росен Дискретна математика и њене примене. С.А.МЦГРАВ-ХИЛЛ / ИНТЕРАМЕРИЦАНА ДЕ ЕСПАНА.
  3. Сеимоур Липсцхутз Пх.Д. & Марц Липсон. Дискретна математика. МцГРАВ-ХИЛЛ.
  4. Ралпх П. Грималди. Дискретна и комбинаторна математика. Аддисон-Веслеи Ибероамерицана
  5. Верде Стар Луис ... Дискретна математика и комбинаторија