Варигнонов теоремски примери и решене вежбе



Тхе Варигнонова теорема утврђује да ако се било која четвороугла непрекидно спаја са странама, ствара се паралелограм. Ова теорема је формулисао Пиерре Варигнон и објављен у књизи 1731. године Елементи математике".

Објављивање књиге догодило се годинама након његове смрти. Пошто је Варигнон био тај који је представио ову теорему, паралелограм је назван по њему. Теорема се заснива на еуклидској геометрији и представља геометријске односе квадрилатерала.

Индек

  • 1 Шта је Варигнонова теорема??
  • 2 Примери
    • 2.1 Први пример
    • 2.2 Други пример
  • 3 Вежбе решене
    • 3.1 Вежба 1
    • 3.2 Вежба 2
    • 3.3 Вежба 3
  • 4 Референце

Шта је Варигнонова теорема??

Варигнон је тврдио да ће број који је дефинисан средњим вредностима четвороугла увек резултирати паралелограмом, а површина ће увек бити пола површине квадрилатерале ако је равна и конвексна. На пример:

На слици можемо видети четвороугао са површином Кс, где су средње тачке страна представљене Е, Ф, Г и Х и, када су спојене, формирају паралелограм. Површина четверокута ће бити сума површина троуглова који се формирају, а пола од тога одговара области паралелограма..

Пошто је површина паралелограма пола површине четвороугла, може се одредити обим тог паралелограма.

Дакле, периметар је једнак збиру дуљина дијагонала четверокута; то је зато што ће медијана квадрилатерале бити дијагонале паралелограма.

С друге стране, ако су дуљине дијагонала четверокута једнаке, паралелограм ће бити дијамант. На пример:

Из слике се види да се спајањем средишта страна четвороугла добија ромб. С друге стране, ако су дијагонале четвороугла окомите, паралелограм ће бити правоугаоник.

Такође, паралелограм ће бити квадрат када четвороугао има дијагонале исте дужине и такође је окомит.

Теорема се не испуњава само у равним четверокутима, већ се имплементира иу просторној геометрији или у великим димензијама; то јест, у оним квадрилатералима који нису конвексни. Пример за то може бити октаедар, где су средишта центроида сваког лица и формирају паралелепипед.

На тај начин, спајањем средњих тачака различитих фигура, могу се добити паралелограми. Једноставан начин да се провери да ли је то заиста истина је да супротне стране морају бити паралелне када се прошире.

Примери

Први примјер

Продужење супротних страна да би се показало да је паралелограм:

Други пример

Спајањем средишта дијаманта добијамо правоугаоник:

Теорема се користи у сједињавању тачака које се налазе на средини страна четвороугла, а може се користити и за друге типове тачака, као што је у трисекцији, пента-секцији или чак бесконачном броју секција ( н), како би се стране било којег четверокута раздвојиле на сегменте који су пропорционални.

Решене вежбе

Вежба 1

Имамо на слици четвороугао АБЦД површине З, где су средине ових страна ПКСР. Проверите да ли је формиран паралелограм Варигнона.

Решење

Може се проверити да се при спајању ПКСР тачака формира паралелограм Варигнона, управо зато што су у изјави дате средње тачке четвороугла..

Да би се то показало, средња вредност ПКСР-а је уједињена, тако да се може видети да је формиран још један четвороугао. Да бисте показали да је паралелограм, морате да нацртате правац од тачке Ц до тачке А, тако да можете видети да је ЦА паралелан са ПК и РС.

Слично томе, проширивањем ПКРС страна може се приметити да су ПК и РС паралелне, као што је приказано на следећој слици:

Вежба 2

Има правоугаоник тако да су дужине свих његових страна једнаке. При спајању средњих тачака ових страна формира се ромб АБЦД, који је подељен са две дијагонале АЦ = 7цм и БД = 10цм, који се поклапају са мерењима страна правоугаоника. Одредите дијамант и правоугаоник.

Решење

Подсетивши се да је површина насталог паралелограма пола четвороугла, можете одредити подручје ових сазнања знајући да се мера дијагонала поклапа са странама правоугаоника. Дакле, морате:

АБ = Д

ЦД = д

Аправоугаоник = (АБ * ЦД) = (10 цм * 7 цм) = 70 цм2

Архомбус = А правоугаоник / 2

Архомбус = 70 цм2 / 2 = 35 цм2

Вежба 3

На слици имамо четвороугао који има јединицу тачака ЕФГХ, дане су дужине сегмената. Одредите да ли је унија ЕФГХ паралелограм.

АБ = 2,4 ЦГ = 3,06

ЕБ = 1,75 ГД = 2,24

БФ = 2,88 ДХ = 2,02

ФЦ = 3,94 ХА = 2,77

Решење

С обзиром на дужину сегмената, могуће је провјерити постоји ли пропорционалност између сегмената; то јест, можемо знати да ли су паралелне, повезујући сегменте четвороугла на следећи начин:

- АЕ / ЕБ = 2,4 / 1,75 = 1,37

- АХ / ХД = 2.77 / 2.02 = 1.37

- ЦФ / ФБ = 3.94 / 2.88 = 1.37

- ЦГ / ГД = 3,06 / 2,24 = 1,37

Тада се проверава пропорционалност, јер:

АЕ / ЕБ = АХ / ХД = ЦФ / ФБ = ЦГ / ГД

Слично томе, када цртамо линију од тачке Б до тачке Д, можемо видети да је ЕХ паралелан са БД, као што је БД паралелан са ФГ. С друге стране, ЕФ је паралелан са ГХ.

На тај начин се може утврдити да је ЕФГХ паралелограм, јер су супротне стране паралелне.

Референце

  1. Андрес, Т. (2010). Математичка олимпијада. Спрингер. Нев Иорк.
  2. Барбоса, Ј.Л. (2006). Флат Еуцлидеан Геометри. СБМ. Рио де Жанеиро.
  3. Ховар, Е. (1969). Студи оф Геометриес. Мексико: Хиспаниц - Америцан.
  4. Рамо, Г.П. (1998). Непозната решења проблема Фермат-Торрицелли. ИСБН - Самостални рад.
  5. Вера, Ф. (1943). Елементи геометрије. Богота.
  6. Виллиерс, М. (1996). Неке авантуре у еуклидској геометрији. Јужна Африка.