Објави:
Теорем о Талесу Милета Првог, Другог и Примера
Прва и друга Тхеорем оф Тхалес оф Милетус оне се заснивају на одређивању троуглова из других сличних (прва теорема) или кружница (друга теорема). Они су били веома корисни у разним областима. На пример, прва теорема се показала веома корисном за мерење великих структура када није било софистицираних мерних инструмената.
Талес из Милета је био грчки математичар који је дао велики допринос геометрији, од којих се ове две теореме истичу (у неким текстовима такође пишу као Тхалес) и њихове корисне примене. Ови резултати су коришћени кроз историју и омогућили су решавање широког спектра геометријских проблема.
Индек
- 1 Прва теорема прича
- 1.1 Апликација
- 1.2 Примери
- 2 Друга теорема Талес-а
- 2.1 Апликација
- 2.2 Пример
- 3 Референце
Прва теорема Талес-а
Прва теорема Талес-а је веома користан алат који, између осталог, омогућава да се изгради троугао сличан другом, раније познатом. Одатле произилазе различите верзије теореме које се могу применити у вишеструким контекстима.
Пре него што дате своју изјаву, запамтите неке појмове сличности троуглова. У суштини, два троугла су слична ако су њихови углови конгруентни (имају исту меру). То доводи до чињенице да, ако су два троугла слична, њихове одговарајуће стране (или хомологи) су пропорционалне.
Прва теорема Тхалес-а каже да ако је у датом троуглу равна линија нацртана паралелно са било којом од његових страна, добијени нови троугао ће бити сличан почетном троуглу..
Такође добијате везу између углова који се формирају, као што се види на следећој слици.
Апплицатион
Међу његовим вишеструким применама издваја се једна од посебног интереса и односи се на један од начина на који су мерења направљена у антици, у времену у којем је живео и где нису били доступни савремени мерни уређаји. они сада постоје.
Каже се да је овако Тхалес успио измјерити највишу пирамиду у Египту, Цхеопс. За то, Тхалес је претпоставио да су рефлексије сунчевих зрака додирнуле земљу формирајући паралелне линије. Под том претпоставком, он је вертикално забио штап или штап у земљу.
Тада је користио сличност два резултујућа троугла, један формиран дужином сенке пирамиде (која се лако може израчунати) и висином пирамиде (непознато), а друга формирана дужинама сенке. и висина штапа (који се такође може лако израчунати).
Користећи пропорционалност између ових дужина, можете очистити и знати висину пирамиде.
Иако ова метода мерења може дати значајну грешку апроксимације у односу на тачност висине и зависи од паралелности сунчевих зрака (што зависи од прецизног времена), морамо препознати да је то веома генијална идеја. и која је пружила добру алтернативу за мјерење времена.
Примери
Пронађите вредност к у сваком случају:
Решење
Овде имамо две линије које режу две паралелне линије. Првим теоремом Талеса је да су њихове стране пропорционалне. Конкретно:
Решење
Овде имамо два троугла, један од њих формиран је сегментом паралелним са једном од страна друге стране (тачно страна дужине к). Према првој теореми Талес-а морате:
Друга теорема прича
Друга теомела Талеса одређује правоугаоник уписан на обод у свакој тачки исте.
Троугао који је уписан у обод је троугао чији су врхови на ободу, тако да су садржани у овоме.
Наиме, друга теорема Тхалес-а наводи следеће: с обзиром на круг центра О и пречник АЦ, свака тачка Б опсега (осим А и Ц) одређује правоугаони троугао АБЦ, са правим углом Као оправдање, имајте на уму да и ОА и ОБ и ОЦ одговарају радијусу обима; према томе, њихова мерења су иста. Одатле се добија да су троуглови ОАБ и ОЦБ једнакокрачни, где Познато је да је сума углова троугла једнака 180º. Користећи ово са троуглом АБЦ морате: 2б + 2а = 180º. Еквивалентно, имамо да је б + а = 90º и б + а = Имајте на уму да је правоугаоник који даје Тхалесова друга теорема управо онај чија је хипотенуза једнака пречнику обима. Дакле, она је у потпуности одређена полукругом који садржи тачке троугла; у овом случају, горњи полукруг. Приметимо такође да у правом троуглу добијеном помоћу Тхалесове друге теореме, хипотенуза је подељена на два једнака дела ОА и ОЦ (радијус). Заузврат, ова мера је једнака сегменту ОБ (такође и радијусу), што одговара медијани троугла АБЦ помоћу Б. Другим речима, дужина медијана правог троугла АБЦ која одговара врху Б је потпуно одређена половином хипотенузе. Сјетите се да је медијан трокута сегмент од једног од врхова до средине супротне стране; у овом случају, БО сегмент. Други начин да се види Талесова друга теорема је кроз круг који је описан правим троуглом. Уопштено, кружница која је ограничена на полигон састоји се од обима који пролази кроз сваки од његових врхова, кад год је могуће пратити. Користећи другу теорему Талесовог, датог правим троуглом, увек можемо да конструишемо кружни круг описан овоме, са радијусом који је једнак половини хипотенузе и циркумцентра (центар обима) једнак средњем делу хипотенузе. Веома важна примена друге теореме Талес-а, а можда и најчешће коришћена, јесте да се пронађу тангентне линије на датом опсегу, помоћу тачке П, која је екстерна овој (позната). Обратите пажњу на то да, с обзиром на обим (нацртан плавом бојом на слици испод) и спољашњу тачку П, постоје две линије које се додирују са ободом који пролазе кроз П. Нека су Т и Т 'тачке тангенције, р полупречник обима и Или центар. Познато је да је сегмент који иде од центра круга до тачке његове тангенције, окомит на ту тангентну линију. Затим, угао ОТП-а је раван. Из онога што смо раније видели у првој теореми о Талесу и њеним различитим верзијама, видимо да је могуће да се ОТП троугао упише у други опсег (у црвеном). Аналогно се добија да се троугао ОТ'П може уписати унутар истог претходног обима. Према другој теомели Тхалес-а, добијамо и да је пречник овог новог опсега управо хипотенуза троугла ОТП (која је једнака хипотенузи троугла ОТ'П), а центар је средиште ове хипотенузе. Да би се израчунао центар новог обима, онда је довољно израчунати средњу тачку између центра - рецимо М - почетног опсега (који већ знамо) и тачке П (коју такође знамо). Тада ће полупречник бити растојање између ове тачке М и П. Са радијусом и средиштем црвеног круга можемо наћи њену Картезијанску једначину, коју памтимо дато као (к-х)2 + (и-к)2 = ц2, где је ц полупречник, а тачка (х, к) је центар круга. Знајући сада једнаџбе обају кружница, можемо их пресећи решавањем система једначина које они формирају, и на тај начин добити тачке тангенције Т и Т '. Коначно, да бисмо знали жељене тангентне линије, довољно је пронаћи једнаџбу праваца који пролазе кроз Т и П, а Т 'и П. Размотримо опсег пречника АЦ, центар О и радијус 1 цм. Нека је Б тацка на ободу тако да је АБ = АЦ. Колико кошта АБ? Према другој теомели Тхалес-а, троугао АБЦ је правоугаоник, а хипотенуза одговара пречнику који у овом случају мери 2 цм (радијус је 1 цм). Затим, по Питагориној теореми морамо:
Кружни опсег
Апплицатион
Пример
Решење
Референце