Моивреова теорема о томе шта се састоји, демонстрације и решене вежбе

Тхе Моивреова теорема примењује фундаменталне процесе алгебре, као што су моћи и екстракција корена у комплексним бројевима. Теорему је објавио познати француски математичар Абрахам де Моивре (1730), који је повезао комплексне бројеве са тригонометријом.

Абрахам Моивре је направио ово повезивање кроз изразе дојке и косинуса. Овај математичар је генерисао неку формулу кроз коју је могуће подићи комплексни број з на снагу н, која је позитиван цео број већи или једнак 1.

Индек

• 1 Шта је Моивре теорема??
• 2 Демонстрација
  • 2.1 Индуктивна база
  • 2.2 Индуктивна хипотеза
  • 2.3 Провера
  • 2.4 Негативан број
• 3 Вежбе решене
  • 3.1 Израчунавање позитивних сила
  • 3.2 Израчунавање негативних сила
• 4 Референце

Шта је Моивре теорема??

Моивреова теорема наводи следеће:

Ако имате комплексан број у поларном облику з = р_ɵ, где је р модул комплексног броја з, а угао Ɵ се назива амплитудом или аргументом било ког комплексног броја са 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, да би се израчунала њена н-та снага, неће бити потребно да је умножава н-пута; то јест, није потребно правити следећи производ:

З^н = з _* з _* з_{* ... *} з = р_{Ɵ *} р_{Ɵ *} р_{... * ... *} р_ɵ   н-пута.

Напротив, теорема каже да када пишемо з у свом тригонометријском облику, да израчунамо н-ту снагу, поступимо на следећи начин:

Ако је з = р (цос и + и _* син Ɵ) затим з^н = р^н (цос н * и + и _* син н * Ɵ).

На пример, ако је н = 2, онда је з² = р²[цос 2 (+) + и син 2 (Ɵ)]. Ако имате н = 3, онда з³ = з² _* з. Додатно:

з³ = р²[цос 2 (Ɵ) + и син 2 (Ɵ)] _* р [цос 2 (+) + и син 2 (Ɵ)] = р³[цос 3 (+) + и син 3 (Ɵ)].

На овај начин, тригонометријски односи синусног и косинусног могу се добити за вишеструке углове, све док су познати тригонометријски односи угла..

На исти начин може се користити за проналажење прецизнијих и мање збуњујућих израза за н-ти коријен комплексног броја з, тако да је з \ т^н = 1.

Да би се демонстрирала Моивреова теорема, користи се принцип математичке индукције: ако цијели број "а" има својство "П", и ако је за било који цијели број "н" већи од "а" који има својство "П" то је задовољава да н + 1 такође има својство "П", онда су сви цели бројеви већи или једнаки "а" имају својство "П".

Демонстрација

На овај начин, доказ теореме се изводи следећим корацима:

Индуктивна база

Прво проверите за н = 1.

Лике з¹ = (р (цос и + и _* сен Ɵ))¹ = р¹ (цос и + и _* сен Ɵ)¹ = р¹ [цос (1_* +) + И _* сен (1_* Ɵ)], имамо да је за н = 1 испуњена теорема.

Индуктивна хипотеза

Претпоставља се да је формула истинита за неки позитивни цијели број, тј. Н = к.

з^к = (р (цос и + и _* сен Ɵ))^к  = р^к (цос к. + и _* сен к Ɵ).

Цхецкинг

Доказано је да је то истина за н = к + 1.

Лике з^{к + 1}= з^к _* з, затим з^{к + 1} = (р (цос и + и _* сен Ɵ))^{к + 1} = р^к (цос кƟ + и _* сен кƟ) _*  р (цос и + и_* сенƟ).

Тада се изрази множе:

з^{к + 1} = р^{к + 1}((цос кƟ)_*(цосƟ) + (цос кƟ)_*(и_*сенƟ) + (и _* сен кƟ)_*(цосƟ) + (и _* сен кƟ)_*(и_* сенƟ)).

На тренутак се фактор р игнорише^{к + 1},  и заједнички фактор и је уклоњен:

(цос кƟ)_*(цосƟ) + и (цос кƟ)_*(синƟ) + и (сен кƟ)_*(цосƟ) + и²(сен кƟ)_*(сенƟ).

Хов и² = -1, замењујемо га у изразу и добијамо:

(цос кƟ)_*(цосƟ) + и (цос кƟ)_*(синƟ) + и (сен кƟ)_*(цосƟ) - (сен кƟ)_*(сенƟ).

Сада су наручени стварни и имагинарни део:

(цос кƟ)_*(цосƟ) - (сен кƟ)_*(синƟ) + и [(сен кƟ)_*(цосƟ) + (цос кƟ)_*(сенƟ)].

Да би се поједноставио израз, примењују се тригонометријски идентитети сума углова за косинус и синус, који су:

цос (А + Б) = цос А _* цос Б - сен А _* сен Б.

сен (А + Б) = син А _* цос Б - цос А _* цос Б.

У овом случају, променљиве су углови и кƟ. Примјењујући тригонометријске идентитете, имамо:

цос кƟ _* цосƟ -  сен кƟ _* сенƟ = цос (кƟ + Ɵ)

сен кƟ _* цосƟ + цос кƟ _* сенƟ = сен (кƟ + Ɵ)

На овај начин, израз остаје:

з^{к + 1} = р^{к + 1} (цос (кƟ + Ɵ) + и _* сен (кƟ + Ɵ))

з^{к + 1} = р^{к + 1}(цос [(к + 1) +] + и _* сен [(к +1) Ɵ]).

Тако се може показати да је резултат истинит за н = к + 1. По принципу математичке индукције, закључује се да је резултат истинит за све позитивне интегер; то јест, н ≥ 1.

Интегер негативно

Моивреова теорема се такође примењује када је н ≤ 0. Размотримо негативни цео број "н"; онда "н" може бити написан као "-м", то јест, н = -м, где је "м" позитиван цео број. Стога:

(цос и + и _* сен Ɵ)^н = (цос и + и _* сен Ɵ) ^-м

Да би добили експонент "м" на позитиван начин, израз се исписује обрнуто:

(цос и + и _* сен Ɵ)^н = 1 ÷ (цос и + и _* сен Ɵ) ^м

(цос и + и _* сен Ɵ)^н = 1 ÷ (цос мƟ + и _* сен мƟ)

Сада се користи да ако је з = а + б * и комплексан број, онда је 1 = з = а-б * и. Стога:

(цос и + и _* сен Ɵ)^н = цос (мƟ) - и _* сен (мƟ).

Користећи цос (к) = цос (-к) и -сен (к) = син (-к), морамо:

(цос и + и _* сен Ɵ)^н = [цос (мƟ) - и _* сен (мƟ)]

(цос и + и _* сен Ɵ)^н = цос (- мƟ) + и _* сен (-мƟ)

(цос и + и _* сен Ɵ)^н = цос (нƟ) - и _* сен (нƟ).

На тај начин можемо рећи да се теорема односи на све целобројне вредности "н"..

Решене вежбе

Израчунавање позитивних снага

Једна од операција са комплексним бројевима у свом поларном облику је множење два од ових; у том случају модули се множе и додају се аргументи.

Ако имате два комплексна броја з₁ и з₂ и желите да израчунате (з₁* з₂)², Онда поступамо на следећи начин:

з₁з₂ = [р₁ (цос Ɵ₁ + и _* сен Ɵ₁)] * [р₂ (цос Ɵ₂ + и _* сен Ɵ₂)]

Дистрибутивна својина се примењује:

з₁з₂ = р₁ р₂ (цос Ɵ_{1 *} цос Ɵ₂ + и _* цос Ɵ_{1 *} и _* сен Ɵ₂ + и _* сен Ɵ_{1 *} цос Ɵ₂ + и²_* сен Ɵ_{1 *} сен Ɵ₂).

Они су груписани, узимајући термин "и" као заједнички фактор израза:

з₁з₂ = р₁ р₂ [цос Ɵ_{1 *} цос Ɵ₂ + и (цос Ɵ_{1 *} сен Ɵ₂ + сен Ɵ_{1 *} цос Ɵ₂) + и²_* сен Ɵ_{1 *} сен Ɵ₂]

Хов и² = -1, замењује се у изразу:

з₁з₂ = р₁ р₂ [цос Ɵ_{1 *} цос Ɵ₂ + и (цос Ɵ_{1 *} сен Ɵ₂ + сен Ɵ_{1 *} цос Ɵ₂) - сен Ɵ_{1 *} сен Ɵ₂]

Реални термини су прегруписани са реалним, а имагинарним са имагинарним:

з₁з₂ = р₁ р₂ [(цос Ɵ_{1 *} цос Ɵ₂ - сен Ɵ_{1 *} сен Ɵ₂) + и (цос Ɵ_{1 *} сен Ɵ₂ + сен Ɵ_{1 *} цос Ɵ₂)]

Коначно, примењују се тригонометријска својства:

з₁з₂ = р₁ р₂ [цос (₁ + ɵ₂) + и сен (₁ + ɵ₂)].

У закључку:

(з₁* з₂)²= (р₁ р₂ [цос (₁ + ɵ₂) + и сен (₁ + ɵ₂)])²

= Р₁²р₂²[цос 2 * (₁ + ɵ₂) + и сен 2 * (₁ + ɵ₂)].

Вежба 1

Запишите комплексни број у поларном облику ако је з = - 2 -2и. Затим, користећи Моиверову теорему, израчунајте з⁴.

Решење

Комплексни број з = -2 -2и је изражен у правоугаоном облику з = а + би, где:

а = -2.

б = -2.

Знајући да је поларни облик з = р (цос и + и _* син Ɵ), треба да одредите вредност "р" модула и вредност "Ɵ" аргумента. Као р = а (а² + б²), дате вредности се замењују:

р = √ (а² + б²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Тада, да би се одредила вредност ",", примењује се правоугаони облик, који је дат формулом:

тан Ɵ = б ÷ а

тан Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Као тан (=) = 1 и морате<0, entonces se tiene que:

Ар = арцтан (1) + Π.

= 4/4 + Π

= 5Π / 4.

Пошто је вредност "р" и "Ɵ" већ добијена, комплексни број з = -2 -2и може се изразити у поларном облику заменом вредности:

з = 2√2 (цос (5Π / 4) + и _* сен (5Π / 4)).

Сада се Моивреова теорема користи за израчунавање з⁴:

з⁴= 2√2 (цос (5Π / 4) + и _* сен (5Π / 4))⁴

= 32 (цос (5Π) + и _* сен (5Π)).

Вежба 2

Пронађите производ комплексних бројева изражавајући га у поларном облику:

з1 = 4 (цос 50^о + и_* 50 сен^о)

з2 = 7 (цос 100^о + и_* 100 сен^о).

Затим израчунајте (з1 * з2) ².

Решење

Прво се формира производ датих бројева:

з₁ з₂ = [4 (цос 50^о + и_* 50 сен^о)] * [7 (цос 100^о + и_* 100 сен^о)]

Затим помножите модуле и додајте аргументе:

з₁ з₂ = (4 _* 7)_* [цос (50^о + 100^о) + и_* сен (50^о + 100^о)]

Израз је поједностављен:

з₁ з₂ = 28 _* (цос 150^о + (и_* 150 сен^о).

Коначно, примењује се Моивре теорема:

(з1 * з2) ² = (28 _* (цос 150^о + (и_* 150 сен^о)) ² = 784 (цос 300)^о + (и_* 300 сен^о)).

Израчунавање негативних сила

Да поделимо два комплексна броја з₁ и з₂ у свом поларном облику, модул је подељен и аргументи се одузимају. Дакле, квоцијент је з₁ . З₂ и изражава се на следећи начин:

з₁ . З₂ = р1 / р2 ([цос (Ɵ₁- ɵ₂) + и сен (₁ - ɵ₂)]).

Као иу претходном случају, ако желите да израчунате (з1 2 з2) ³ прво је подела и онда се користи Моивре теорема..

Вежба 3

Гивен:

з1 = 12 (цос (3π / 4) + и * син (3π / 4)),

з2 = 4 (цос (π / 4) + и * син (π / 4)),

израчунати (з1 2 з2) ³.

Решење

Након горе описаних корака, може се закључити да:

(з1 2 з2) ³ = ((12/4) (цос (3π / 4 - π / 4) + и * син (3π / 4 - π / 4)))

= (3 (цос (π / 2) + и * син (π / 2))) ³

= 27 (цос (3π / 2) + и * син (3π / 2)).

Референце

1. Артхур Гоодман, Л.Х. (1996). Алгебра и тригонометрија са аналитичком геометријом. Пеарсон Едуцатион.
2. Цроуцхер, М. (с.ф.). Из Моиверове теореме за Триг идентитете. Волфрам Демонстратионс Пројецт.
3. Хазевинкел, М. (2001). Енцицлопаедиа оф Матхематицс.
4. Мак Петерс, В. Л. (1972). Алгебра и тригонометрија.
5. Перез, Ц.Д. (2010). Пеарсон Едуцатион.
6. Станлеи, Г. (с.ф.). Линеарна алгебра Грав-Хилл.
7. , М. (1997). Прецалцулус Пеарсон Едуцатион.