Еуклидове теоремске формуле, демонстрације, примена и вежбе

Тхе Еуклидова теорема демонстрира својства правог трокута цртајући линију која је дијели на два нова десна трокута која су слична један другом и која су, пак, слична оригиналном трокуту; онда постоји однос пропорционалности.

Еуклид је био један од највећих математичара и геометара древног доба који је направио неколико демонстрација важних теорема. Једна од главних је она која носи његово име, која је имала широку примену.

То је тако јер, кроз ову теорему, она на једноставан начин објашњава геометријске односе који постоје у правом троуглу, где су ноге овога повезане са њиховим пројекцијама у хипотенузи.

Индек

• 1 Формуле и демонстрације
  • 1.1 Теорема висине
  • 1.2 Теорема ногу
• 2 Однос између Еуклидових теорема
• 3 Вежбе решене
  • 3.1 Пример 1
  • 3.2 Пример 2
• 4 Референце

Формуле и демонстрације

Еуклидова теорема предлаже да се у сваком правом троуглу, када је нацртана линија - која представља висину која одговара врху правог угла у односу на хипотенузу - формирају два десна троугла из оригинала.

Ови троуглови ће бити слични један другом и биће слични оригиналном троуглу, што значи да су њихове сличне стране пропорционалне једна другој:

Кутови трију троуглова су подударни; то јест, када се ротира на 180 степени на свом врху, угао се подудара са друге стране. То значи да ће сви бити једнаки.

На овај начин можете проверити сличност која постоји између три троугла, једнакости њихових углова. Из сличности троуглова, Еуклид успоставља пропорције ових двају теорема:

- Теорема висине.

- Теорема ногу.

Ова теорема има широку примену. У антици се користио за израчунавање висине или удаљености, што представља велики напредак за тригонометрију.

Тренутно се примењује у неколико области које се заснивају на математици, као што су инжењерство, физика, хемија и астрономија, међу многим другим областима.

Теорема висине

Ова теорема наводи да је у сваком правом троуглу висина повучена од правог угла у односу на хипотенузу геометријска пропорционална средина (квадрат висине) између пројекција ногу која одређује хипотенузу.

То значи да ће квадрат висине бити једнак множењу пројектованих ногу које чине хипотенузу:

х_ц² = м _* н

Демонстрација

С обзиром на троугао АБЦ, који је правоугаоник на врху Ц, приликом исцртавања висине генеришу се два слична правоугаоника, АДЦ и БЦД; дакле, њихове одговарајуће стране су пропорционалне:

На такав начин да је висина х_ц што одговара сегменту ЦД, одговара хипотенузи АБ = ц, тако да морамо:

Заузврат, то одговара:

Чишћење хипотенузе (х_ц), да помножите два члана једнакости, морате:

х_{ц *} х_{ц =} м _* н

х_ц² = м _* н

Дакле, вредност хипотенузе је дата:

Теорема ногу

Ова теорема каже да ће, у сваком правом троуглу, мера сваке ноге бити геометријска пропорционална средина (квадрат сваке ноге) између мерења хипотенузе (потпуне) и пројекције сваке на њој:

б² = ц _* м

а² = ц_* н

Демонстрација

С обзиром на троугао АБЦ, који је правоугаоник на врху Ц, тако да је његова хипотенуза ц, приликом исцртавања висине (х) одређују се пројекције ногу а и б, које су сегменти м и н, редом. хипотенуза.

Дакле, имамо да висина нацртана на правом троуглу АБЦ генерише два слична десна троугла, АДЦ и БЦД, тако да су одговарајуће стране пропорционалне, као што је:

ДБ = н, што је пројекција ЦБ ноге на хипотенузу.

АД = м, што је пројекција катетуса АЦ на хипотенузу.

Затим се хипотенуза ц одређује сумом ногу његових пројекција:

ц = м + н

Због сличности троуглова АДЦ и БЦД, морамо:

Горе наведено је исто као:

Чишћењем ноге "а" да би се помножила два члана једнакости, треба:

а _* а = ц _* н

а² = ц _* н

Дакле, вредност ногу "а" је дата:

Слично томе, због сличности троуглова АЦБ и АДЦ, морамо:

Горе наведено је једнако:

Чистећи ногу "б" да би помножили два члана једнакости, треба:

б _* б = ц _* м

б² = ц _* м

Дакле, вредност ногу "б" је дата:

Однос између Еуклидових теорема

Теореме које се односе на висину и ноге су међусобно повезане, јер је мера оба направљена у односу на хипотенузу правог троугла..

Кроз релацију Еуклидових теорема може се наћи и вредност висине; то је могуће брисањем вриједности м и н из теореме ногу и оне се замјењују теоремом висине. На овај начин, висина је једнака множењу ногу, подељеној хипотенузом:

б² = ц _* м

м = б² . Ц

а² = ц _* н

н = а² . Ц

У теореми о висини м и н се замењују:

х_ц² = м _* н

х_ц² = (б² ) Ц) _* (а² ) Ц)

х_ц = (б²_* а²) ÷ ц

Решене вежбе

Пример 1

С обзиром на троугао АБЦ, правоугаоник у А, одредите меру АЦ и АД, ако је АБ = 30 цм и БД = 18 цм

Решење

У овом случају имамо мерења једне од пројектованих ногу (БД) и једне од ногу оригиналног троугла (АБ). На тај начин можете применити теорему ногу да бисте пронашли вредност ногу БЦ.

АБ² = БД _* БЦ

(30)² = 18 _* БЦ

900 = 18 _* БЦ

БЦ = 900 ÷ 18

БЦ = 50 цм

Вредност ЦД катетуса се може наћи знајући да је БЦ = 50:

ЦД = БЦ - БД

ЦД = 50 - 18 = 32 цм

Сада је могуће одредити вредност катетуса АЦ, поново примењујући теорему ногу:

АЦ² = ЦД _* БД

АЦ² = 32 _* 50

АЦ² = 160

АЦ = 001600 = 40 цм

Да би се одредила вредност висине (АД) примењује се теорема висине, јер су вредности пројектованих ногу ЦД и БД познате:

АД² = 32 _* 18

АД² = 576

АД = 76576

АД = 24 цм

Пример 2

Одредите вредност висине (х) троугла МНЛ, правоугаоника у Н, знајући мере сегмената:

НЛ = 10 цм

МН = 5 цм

ПМ = 2 цм

Решење

Имате мерење једне од ногу пројицираних на хипотенузу (ПМ), као и мерења ногу оригиналног троугла. На тај начин се може применити теорема ногу да би се пронашла вредност друге пројектоване ноге (ЛН):

НЛ² = ПМ _* ЛМ

(10)² = 5 _* ЛМ

100 = 5 _* ЛМ

ПЛ = 100 ÷ 5 = 20

Како већ знамо вредност ногу и хипотенузе, кроз однос теорема висине и ногу, може се одредити вредност висине:

НЛ = 10

МН = 5

ЛМ = 20

х = (б²_* а²) ÷ ц.

х = (10²_* 5²)  ÷ (20)

х = (100 _* 25) ÷ (20)

х = 2500 ÷ 20

х = 125 цм.

Референце

1. Браун, Е. (2011). Хаос, фрактали и чудне ствари. Фонд за економску културу.
2. Цабрера, В. М. (1974). Модерн Матхематицс, Том 3.
3. Даниел Хернандез, Д. П. (2014). 3. година математике Царацас: Сантиллана.
4. Енцицлопаедиа Британница, и. (1995). Хиспаниц Енцицлопедиа: Мацропедиа. Енцицлопедиа Британница Публисхерс.
5. Еуцлид, Р.П. (1886). Еуклидови елементи геометрије.
6. Гуардено, А.Ј. (2000). Наслеђе математике: од Еуклида до Њутна, геније кроз његове књиге. Универзитет у Севилли.