Чебишева теорема из чега се састоји, примене и примери



Тхе Чебишева теорема (или Цхебисховљева неједнакост) је један од најважнијих класичних резултата теорије вјероватноће. Омогућава процену вероватноће догађаја описаног у смислу случајне променљиве Кс, обезбеђујући нам димензију која не зависи од дистрибуције случајне променљиве, већ од варијансе Кс.

Теорема је названа по руском математичару Пафнутију Чебишову (који је такође писан као Цхебицхев или Тцхебицхефф) који је, упркос томе што није први описао ову теорему, први дао демонстрацију у години 1867..

Ова неједнакост, или она која се по својим карактеристикама називају Чебишова неједнакост, углавном се користи за приближавање вероватноћа помоћу израчунавања димензија..

Индек

  • 1 Од чега се састоји??
  • 2 Апликације и примери
    • 2.1 Вероватноће ограничења
    • 2.2 Демонстрација граничних теорема
    • 2.3 Величина узорка
  • 3 Неједнакости типа Цхебисхов
  • 4 Референце

Од чега се састоји??

У проучавању теорије вероватноће се дешава да, ако знамо функцију расподеле случајне променљиве Кс, можемо израчунати њену очекивану вредност - или математичко очекивање Е (Кс) - и њену варијанцу Вар (Кс), све док наведене количине постоје. Међутим, реципрочност није нужно истинита.

То јест, знајући Е (Кс) и Вар (Кс) није нужно добити функцију расподјеле Кс, тако да су количине као што је П (| Кс |> к) за неке к> 0 врло тешко добити. Али захваљујући Цхебисховљевој неједнакости могуће је проценити вероватноћу случајне варијабле.

Чебишовова теорема нам говори да ако имамо случајну варијаблу Кс преко простора узорка С са функцијом вероватноће п, и ако к> 0, онда:

Апликације и примери

Међу многим применама које поседује Чебишева теорема, може се поменути следеће:

Ограничавање вјероватноћа

Ово је најчешћа примена и користи се за добијање горње границе за П (| Кс-Е (Кс) | ≥к) где је к> 0, само са варијансом и очекивањем случајне променљиве Кс, без познавања функције вероватноће.

Пример 1

Претпоставимо да је број производа произведених у предузећу током седмице случајна варијабла са просеком од 50.

Ако знамо да је варијанца седмичне производње једнака 25, шта онда можемо рећи о вјероватноћи да ће се у овој седмици производња разликовати за више од 10 од просјека?

Решење

Примјењујући неједнакост Цхебисхова морамо:

Из овога се може закључити да је вероватноћа да ће у недељи производње број чланака прећи више од 10 до просека највише 1/4.

Демонстрација граничних теорема

Неједнакост Цхебисхова игра важну улогу у демонстрацији најважнијих граничних теорема. Као пример имамо следеће:

Слаб закон великих бројева

Овим законом утврђује се да је дат редослед Кс1, Кс2, ..., Ксн, ... независних случајних променљивих са истом просечном дистрибуцијом Е (Кси) = μ и варијанцом Вар (Кс) = σ2, и познат просјечан узорак:

Онда за к> 0 морате:

Или, еквивалентно:

Демонстрација

Прво да приметимо следеће:

Пошто су Кс1, Кс2, ..., Ксн независни, следи:

Стога је могуће потврдити сљедеће:

Онда, користећи Тебешовљеву теорему, морамо:

Коначно, теорема произилази из чињенице да је граница десно нула када н тежи ка бесконачности.

Треба напоменути да је овај тест рађен само за случај у којем постоји варијанца Кси; то јест, не одступа. Према томе, примећујемо да је теорема увек тачна ако Е (Кси) постоји.

Чебишева гранична теорема

Ако је Кс1, Кс2, ..., Ксн, ... низ независних случајних варијабли таквих да постоји неки Ц< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0:

Демонстрација

Како је сукцесија варијансе једнолико ограничена, имамо Вар (Сн) ≤ Ц / н за све природне н. Али знамо да:

Чинећи н тежећи ка бесконачности, следећи резултати:

Пошто вероватноћа не може да пређе вредност 1, добија се жељени резултат. Као посљедица те теореме можемо споменути посебан случај Бернулија.

Ако се експеримент понавља н пута независно са два могућа исхода (неуспех и успех), где је п вероватноћа успеха у сваком експерименту и Кс је случајна променљива која представља број добијених успеха, онда за сваки к> 0 морате:

Величина узорка

У погледу варијансе, Чебишовљева неједнакост нам омогућава да пронађемо величину узорка н која је довољна да гарантује да је вероватноћа да се | Сн-μ |> = к догоди, колико је потребно, што нам омогућава да имамо апроксимацију до просека.

Тачно, нека су Кс1, Кс2, ... Ксн узорак независних случајних варијабли величине н и претпоставимо да је Е (Кси) = μ и његова варијација σ2. Онда, због Цхебисховљеве неједнакости, морамо:

Пример

Претпоставимо да су Кс1, Кс2, ... Ксн узорак независних случајних варијабли са Бернуллијевом расподелом, тако да узимају вредност 1 са вероватноћом п = 0.5..

Која би требало да буде величина узорка да би се гарантовала вероватноћа да је разлика између аритметичке средине Сн и њене очекиване вредности (преко 0,1) мања или једнака 0. 01?

Решење

Имамо да је Е (Кс) = μ = п = 0.5 и да је Вар (Кс) = σ2= п (1-п) = 0,25. За неједнакост Цхебисхова, за било које к> 0 морамо:

Сада, узимајући к = 0.1 и δ = 0.01, морамо:

На овај начин се закључује да је потребна величина узорка од најмање 2500 да би се осигурало да је вероватноћа догађаја | Сн - 0.5 |> = 0.1 мања од 0.01.

Неједнакости типа Цхебисхов

Постоје различите неједнакости које се односе на неједнакост Цхебисхова. Једна од најпознатијих је Марковљева неједнакост:

У овом изразу Кс је не-негативна случајна варијабла са к, р> 0.

Марковљева неједнакост може имати различите облике. На пример, нека је И не-негативна случајна променљива (тако да П (И> = 0) = 1) и претпоставимо да постоји Е (И) = μ. Претпоставимо такође да (Е (И))р= μр постоји за неки цијели број р> 1. Затим:

Друга неједнакост је Гауссова, која нам говори да је дата унимодална случајна променљива Кс са модом на нули, затим за к> 0,

Референце

  1. Каи Лаи Цхунг Елементарна теорија пропусности са стохастичким процесима. Спрингер-Верлаг Нев Иорк Инц
  2. Кеннетх.Х. Росен Дискретна математика и њене примене. С.А.МЦГРАВ-ХИЛЛ / ИНТЕРАМЕРИЦАНА ДЕ ЕСПАНА.
  3. Паул Л. Меиер. Вероватноћа и статистичке апликације. С.А. МЕКСИЦАН АЛХАМБРА.
  4. Сеимоур Липсцхутз Пх.Д. 2000 Проблеми са дискретном математиком. МцГРАВ-ХИЛЛ.
  5. Сеимоур Липсцхутз Пх.Д. Теорија и проблеми вероватноће. МцГРАВ-ХИЛЛ.