Болзанова теорема Објашњење, апликације и вежбе решене

Тхе Болзанова теорема утврђује да ако је функција непрекидна у свим тачкама затвореног интервала [а, б] и да се уверава да слика "а" и "б" (под функцијом) има супротне знаке, тада ће бити најмање једна тачка "Ц" у отвореном интервалу (а, б), тако да ће функција вреднована у "ц" бити једнака 0.

Ову теорему су изрекли филозоф, теолог и математичар Бернард Болзано 1850. године. Овај научник, рођен у данашњој Чешкој Републици, био је један од првих математичара у историји који је формално демонстрирао својства континуираних функција.

Индек

• 1 Објашњење
• 2 Демонстрација
• 3 Шта је то??
• 4 Вежбе решене
  • 4.1 Вежба 1
  • 4.2 Вежба 2
• 5 Референце

Објашњење

Болзанова теорема је такође позната као теорема о средњим вредностима, која помаже у одређивању специфичних вредности, посебно нула, одређених реалних функција реалне променљиве..

У датој функцији ф (к) се наставља - то јест, да су ф (а) и ф (б) повезане кривуљом -, где је ф (а) испод к-осе (негативно), а ф (б) је изнад оси к (позитивно), или обрнуто, графички ће бити тачка сечења на к оси која ће представљати средњу вредност "ц", која ће бити између "а" и "б", и вредност ф (ц) ће бити једнако 0.

Графички анализирајући Болзанову теорему, можемо знати да је за сваку функцију ф континуирано дефинисано у интервалу [а, б], где је ф (а)_*ф (б) је мање од 0, биће најмање један корен "ц" те функције унутар интервала (а, б).

Ова теорема не утврђује број тачака које постоје у том отвореном интервалу, само наводи да постоји најмање 1 бод.

Демонстрација

Да би се доказала Болзанова теорема, претпоставља се без губитка уопштености да ф (а) < 0 y f(b) > 0; на тај начин може постојати много вриједности између "а" и "б" за које ф (к) = 0, али само требате показати да постоји један.

Започните проценом ф на средини (а + б) / 2. Ако је ф ((а + б) / 2) = 0, тест завршава овде; у супротном, ф ((а + б) / 2) је позитиван или негативан.

Изабрана је једна од половина интервала [а, б], тако да су знаци функције оцјењене на крајевима различити. Овај нови интервал ће бити [а1, б1].

Сада, ако ф вреднује на средини [а1, б1] није нула, онда се изводи иста операција као и пре; то јест, изабрана је половина тог интервала који задовољава стање знакова. Будите овај нови интервал [а2, б2].

Ако се овај процес настави, онда ће се узети два сукцесија ан и бн, тако да:

ан се повећава и бн ​​се смањује:

а ≤ а1 ≤ а2 ≤ ... ≤ а ≤ .... ≤ ... ≤ бн ≤ ... ≤ б2 ≤ б1 ≤ б.

Ако израчунате дужину сваког интервала [аи, би], мораћете да:

б1-а1 = (б-а) / 2.

б2-а2 = (б-а) / 2².

... .

бн-ан = (б-а) / 2 ^ н.

Према томе, граница када н тежи ка бесконачности од (бн-ан) једнака је 0.

Користећи то ан се повећава и ограничава, а бн ​​се смањује и ограничава, мора постојати вредност "ц" тако да:

а ≤ а1 ≤ а2 ≤ ... ≤ а ≤ ... ≤ ц ≤ .... ≤ бн ≤ ... ≤ б2 ≤ б1 ≤ б.

Граница ан је "ц", а граница од бн ​​је такође "ц". Стога, с обзиром на било који δ> 0, увијек постоји "н" тако да се интервал [ан, бн] налази унутар интервала (ц-δ, ц + δ).

Сада се мора показати да је ф (ц) = 0.

Ако је ф (ц)> 0, пошто је ф непрекидан, постоји ε> 0 тако да је ф позитиван кроз интервал (ц-ε, ц + ε). Међутим, као што је горе наведено, постоји вредност "н" таква да ф мења знак у [ан, бн] и, поред тога, [ан, бн] се налази унутар (ц-ε, ц + ε), шта је контрадикција.

Ако ф (ц) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 тако да је ф негативан у интервалу (ц-ε, ц + ε); али постоји вредност "н", тако да ф мења знак у [ан, бн]. Испоставља се да је [ан, бн] садржано унутар (ц-ε, ц + ε), што је такође контрадикција.

Дакле, ф (ц) = 0 и то је оно што смо хтели да покажемо.

За шта је??

Из своје графичке интерпретације, Болзанова теорема се користи за проналажење корена или нула у непрекидној функцији, кроз бисекцију (апроксимација), која је инкрементални метод претраге који увек дели интервале у 2.

Затим узмите интервал [а, ц] или [ц, б] где долази до промене знака, и поновите поступак све док интервал није мањи и мањи, тако да можете приступити жељеној вредности; то јест, вредност коју функција чини 0.

Укратко, да би се примијенила Болзанова теорема и на тај начин пронашли коријени, разграничили нуле функције или дали рјешење једнаџби, слиједе се сљедећи кораци:

- Проверава се да ли је ф непрекидна функција у интервалу [а, б].

- Ако интервал није наведен, треба пронаћи мјесто гдје је функција континуирана.

- Проверава се да ли екстреми интервала дају супротне знакове када се процењују у ф.

- Ако се не добију супротни знакови, интервал треба поделити у два подинтервала користећи средњу тачку.

- Процијените функцију у средини и провјерите да ли је испуњена Болзанова хипотеза, гдје је ф (а) _* ф (б) < 0.

- У зависности од знака (позитивног или негативног) пронађене вредности, процес се понавља са новим субинтервалом док се не испуни наведена хипотеза..

Решене вежбе

Вежба 1

Одредите да ли је функција ф (к) = к² - 2, има бар једно реално решење у интервалу [1,2].

Решење

Имамо функцију ф (к) = к² - 2. Будући да је полином, то значи да је континуиран у било којем интервалу.

Од вас се тражи да одредите да ли имате реално решење у интервалу [1, 2], тако да сада само требате да замените крајеве интервала у функцији да бисте знали знакове и знате да ли испуњавају услов да буду различити:

ф (к) = к² - 2

ф (1) = 1² - 2 = -1 (негативно)

ф (2) = 2² - 2 = 2 (позитивно)

Дакле, знак ф (1) ф знака ф (2).

Ово осигурава да постоји барем једна тачка "ц" која припада интервалу [1,2], где је ф (ц) = 0.

У овом случају, вредност "ц" се може лако израчунати на следећи начин:

к² - 2 = 0

к = ± .2.

Дакле, √2 ≈ 1,4 припада интервалу [1,2] и задовољава да је ф ()2) = 0.

Вежба 2

Доказати да је једнацина к⁵ + к + 1 = 0 има барем једно стварно решење.

Решење

Прво приметите да је ф (к) = к⁵ + к + 1 је полиномна функција, што значи да је континуирана у свим реалним бројевима.

У овом случају, није дат интервал, тако да вредности треба да буду изабране интуитивно, пожељно близу 0, да би се проценила функција и пронашла промена знака:

Ако користите интервал [0, 1] морате:

ф (к) = к⁵ + к + 1.

ф (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

ф (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Како нема промене знака, процес се понавља са другим интервалом.

Ако користите интервал [-1, 0] морате:

ф (к) = к⁵ + к + 1.

ф (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

ф (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

У овом интервалу долази до промене знака: знака ф (-1) оф знака ф (0), што значи да је функција ф (к) = к⁵ + к + 1 има бар један прави корен "ц" у интервалу [-1, 0], тако да је ф (ц) = 0. Другим речима, тачно је да је к⁵ + к + 1 = 0 има реално решење у интервалу [-1,0].

Референце

1. Бронсхтеин И, С.К. (1988). Приручник за математику за инжењере и студенте ... Уводник МИР.
2. Георге, А. (1994). Матхематицс анд Минд. Окфорд Университи Пресс.
3. Илин В, П. Е. (1991). Математичка анализа У три свеска ...
4. Јесус Гомез, Ф. Г. (2003). Наставници средњег образовања. Том ИИ. МАД.
5. Матеос, М. Л. (2013). Основна својства анализе у Р. Едиторес, 20. дец.
6. Пискунов, Н. (1980). Диференцијални и интегрални рачун ...
7. Сидсаетер К, Х. П. (2005). Математика за економску анализу. Фелик Варела.
8. Виллиам Х. Баркер, Р. Х. (с.ф.). Континуирана симетрија: Од Еуклида до Клеина. Америцан Матхематицал Соц.