Берноуллијева теорема Берноуллијева једнаџба, апликације и решена вежба

Тхе Берноуллијева теорема, који описује понашање течности у покрету, објавио је математичар и физичар Даниел Берноулли у свом раду Хидродинамика. Према принципу, идеална течност (без трења или вискозности) која се налази у циркулацији затвореним цевоводом, имаће константну енергију на свом путу.

Теорему се може извести из принципа очувања енергије, па чак и из Њутновог другог закона кретања. Поред тога, Бернулијев принцип такође наводи да повећање брзине флуида значи смањење притиска на који је подвргнут, смањење његове потенцијалне енергије или оба у исто време.

Теорема има много и различитих примена, како у погледу науке, тако иу свакодневном животу људи.

Његове последице су присутне у снази авиона, у димњацима домова и индустрије, у водоводним цевима, између осталог.

Индек

• 1 Берноуллијева једначина
  • 1.1 Поједностављени облик
• 2 Апплицатионс
• 3 Вежба решена
• 4 Референце

Берноуллијева једначина

Иако је Бернулли био онај који је закључио да се притисак смањује када се брзина протока повећа, истина је да је Леонхард Еулер заправо развио Берноуллијеву једнаџбу на начин на који је тренутно познат..

У сваком случају, Берноуллијева једначина, која није ништа друго до математички израз његове теореме, је следећа:

в² Ƿ 2/2 + П + ƿ ∙ г = з = константа

У овом изразу, в је брзина флуида кроз разматрани одељак, оф је густина флуида, П је притисак флуида, г је вредност убрзања гравитације, а з је висина измерена у смеру гравитације.

У Берноуллијевој једначини, имплицитно је да се енергија флуида састоји од три компоненте:

- Кинетичка компонента, која је резултат брзине којом се флуид креће.

- Потенцијална или гравитациона компонента, која је због висине на којој се флуид налази.

- Енергија притиска, што је флуид који поседује као резултат притиска којем је подвргнут.

С друге стране, Берноуллијева једначина се такође може изразити овако:

в₁² 2 ƿ / 2 + П₁ + ∙ ∙ г ∙ з₁ = в₂² 2 ƿ / 2 + П₂ + ∙ ∙ г ∙ з₂

Овај последњи израз је веома практичан за анализу промена које флуид доживљава када се промени један од елемената који чине једначину.

Поједностављени облик

У одређеним приликама промена термина ρгз Берноуллијеве једначине је минимална у односу на ону коју доживљавају други термини, тако да је могуће занемарити. На пример, то се дешава у струјама које авион доживљава у лету.

У тим случајевима Берноуллијева једначина се изражава на следећи начин:

П + к = П₀

У овом изразу к је динамички притисак и једнако в ² Ƿ 2/2, и П₀ је оно што се назива укупни притисак и представља суму статичког притиска П и динамичког притиска к.

Апплицатионс

Берноуллијева теорема има много и разноврсних примена у различитим областима као што су наука, инжењеринг, спорт итд..

Интересантна примена се налази у дизајну димњака. Димњаци су изграђени високо како би се постигла већа разлика у притиску између базе и излаза димњака, захваљујући чему је лакше извадити гасове за сагоревање..

Наравно, Берноуллијева једначина важи и за проучавање кретања течности у цевима. Из једначине следи да смањење попречне површине цеви, како би се повећала брзина флуида који пролази кроз њега, такође подразумева смањење притиска..

Берноуллијева једначина се такође користи у авијацији и возилима Формуле 1. У случају авијације, Бернулијев ефекат је извор подршке авиона.

Крила авиона су пројектована са циљем постизања већег протока ваздуха у горњем делу крила.

Дакле, у горњем делу крила, брзина ваздуха је висока и, према томе, нижи притисак. Ова разлика у притиску ствара силу усмерену вертикално према горе (сила подизања) која дозвољава да се летелице држе у ваздуху. Сличан ефекат добијају и елерони аутомобила Формуле 1.

Одлучна вежба

Кроз цијев попречног пресјека од 4,2 цм² струја воде тече 5,18 м / с. Вода се спушта са висине од 9,66 м на нижи ниво са висином нуле, док се попречна површина цијеви повећава на 7,6 цм.².

а) Израчунајте брзину протока воде на нижем нивоу.

б) Одредите притисак на нижем нивоу знајући да је притисак на горњем нивоу 152000 Па.

Решење

а) Пошто се проток мора конзервирати, испуњено је:

К_{топ левел} = К_{нижи ниво}

 в₁ . С₁ = в₂ . С₂

 5,18 м / с. 4.2 цм² = в₂ . 7,6 цм ^²

Чишћење, добијате:

в₂ = 2.86 м / с

б) Примена Берноуллијеве теореме између два нивоа, узимајући у обзир да је густина воде 1000 кг / м³ , добијате то:

в₁² 2 ƿ / 2 + П₁ + ∙ ∙ г ∙ з₁ = в₂² 2 ƿ / 2 + П₂ + ∙ ∙ г ∙ з₂

(1/2). 1000 кг / м³ . (5.18 м / с) \ т² + 152000 + 1000 кг / м³ . 10 м / с² . 9,66 м =

= (1/2). 1000 кг / м³ . (2.86 м / с) \ т² + П₂ + 1000 кг / м³ . 10 м / с² . 0 м

Цлеаринг П₂ добијате на:

П₂ = 257926,4 Па

Референце

1. Бернулијев принцип. (н.д.). Ин Википедиа. Преузето 12. маја 2018. године, са ес.википедиа.орг.
2. Бернулијев принцип. (н.д.). Ин Википедиа. Преузето 12. маја 2018. године, са ен.википедиа.орг.
3. Батцхелор, Г.К. (1967). Увод у динамику флуида. Цамбридге Университи Пресс.
4. Ламб, Х. (1993). Хидродинамика (6. изд.). Цамбридге Университи Пресс.
5. Мотт, Роберт (1996). Механика примењених течности (4. изд.). Мексико: Пеарсон Едуцатион.