Вецтор Алгебра Басицс, Магнитуде, Вецторс



Тхе вецтор алгебра је грана математике која је одговорна за проучавање система линеарних једначина, вектора, матрица, векторских простора и њихових линеарних трансформација. То се односи на области као што су инжењерство, решавање диференцијалних једначина, функционална анализа, операциона истраживања, компјутерска графика, између осталог..

Друга област која је усвојила линеарну алгебру је физика, јер је кроз то развијена за проучавање физичких феномена, описујући их кроз употребу вектора. Ово је омогућило боље разумевање универзума.

Индек

  • 1 Фундаменталс
    • 1.1 Геометријски
    • 1.2 Аналитички
    • 1.3 Аксиоматски
  • 2 Магнитудес
    • 2.1 Скаларна магнитуда
    • 2.2 Векторска величина
  • 3 Шта су вектори?
    • 3.1 Модул
    • 3.2 Адреса
    • 3.3 Сенсе
  • 4 Класификација вектора
    • 4.1 Фиксни вектор
    • 4.2 Бесплатан вектор
    • 4.3 Клизни вектор
  • 5 Својства вектора
    • 5.1 екуиполентес Вецторс
    • 5.2 Еквивалентни вектори
    • 5.3 Једнакост вектора
    • 5.4 Насупротни вектори
    • 5.5 Вектор јединице
    • 5.6 Нулл Вецтор
  • 6 Компоненте вектора
    • 6.1 Примери
  • 7 Операције са векторима
    • 7.1 Додавање и одузимање вектора
    • 7.2 Множење вектора
  • 8 Референце

Основе

Векторска алгебра потиче од проучавања кватерниона (проширење реалних бројева) 1, и, ј и к, као и картезијанске геометрије коју промовишу Гиббс и Хеависиде, који су схватили да би вектори служили као инструмент за представљају различите физичке појаве.

Векторска алгебра се проучава кроз три темеља:

Геометрицалли

Вектори су представљени линијама које имају оријентацију, а операције као што су збрајање, одузимање и множење реалним бројевима дефинисане су геометријским методама.

Аналитицалли

Опис вектора и њихових операција се врши бројевима, који се називају компонентама. Овај тип описа је резултат геометријског приказа јер се користи координатни систем.

Аксиоматски

Направљен је опис вектора, без обзира на координатни систем или било који тип геометријске репрезентације.

Проучавање фигура у простору се врши кроз њихову репрезентацију у референтном систему, који може бити у једној или више димензија. Међу главним системима су:

- Једнодимензионални систем, који представља линију где једна тачка (О) представља порекло, а друга тачка (П) одређује скалу (дужину) и правац:

- Правокутни координатни систем (дводимензионални), који се састоји од две окомите линије назване к-оса и и-оса, које пролазе кроз тачку (О) порекла; на тај начин авион је подељен на четири подручја која се називају квадранти. У овом случају тачка (П) у равни је дата растојањима која постоје између оса и П.

- Поларни координатни систем (дводимензионални). У овом случају, систем је састављен од тачке О (порекла) која се назива пол и зрак са пореклом О назван поларна оса. У овом случају, тачка П равнине, у односу на пол и поларну осу, дата је као угао (Ɵ), који се формира од растојања између полазишта и тачке П.

- Правокутни тродимензионални систем, формиран са три окомите линије (к, и, з) које имају као извор тачку О у простору. Формиране су три координатне равни: ки, кз и из; простор ће бити подељен у осам региона који се називају октанти. Референца тачке П простора је дата растојањима која постоје између равни и П.

Магнитудес

Магнитуда је физичка величина која се може бројати или мјерити путем нумеричке вриједности, као у случају неких физичких феномена; ипак, често је неопходно да се ови феномени могу описати другим факторима који нису нумерички. Због тога су магнитуде подељене у два типа:

Скаларна магнитуда

То су оне количине које су дефинисане и представљене нумерички; то јест, преко модула заједно са јединицом мере. На пример:

а) Време: 5 секунди.

б) Маса: 10 кг.

ц) Запремина: 40 мл.

д) Температура: 40ºЦ.

Вецтор магнитуде

То су оне количине које су дефинисане и представљене модулом заједно са јединицом, као и смислом и правцем. На пример:

а) Брзина: (5и - 3й) м / с.

б) Убрзање: 13 м / с2; С 45º Е.

ц) Сила: 280 Н, 120º.

д) Тежина: -40-кг-ф.

Векторске магнитуде су графички представљене векторима.

Шта су вектори?

Вектори су графички прикази векторске величине; то јест, то су сегменти равне линије у којима је њихов крајњи крај врх стреле.

Они су одређени њиховом дужином модула или сегмента, чији је смисао означен врхом њихове стрелице и њиховим правцем према линији којој припадају. Порекло вектора је такође познато као тачка примене.

Елементи вектора су следећи:

Модул

То је удаљеност од поријекла до краја вектора, представљена реалним бројем заједно са јединицом. На пример:

| ОМ | = | А | = А = 6 цм

Адреса

То је мера угла који постоји између оси к (од позитивног) и вектора, као и кардиналних тачака (север, југ, исток и запад).

Сенсе

Она се даје главом стрелице која се налази на крају вектора, указујући где се то креће.

Векторска класификација

Генерално, вектори су класификовани као:

Фиксни вектор

То је она чија је тачка примене (порекла) фиксна; то јест, остаје везан за једну тачку простора, разлог зашто се не може раселити у овом простору.

Фрее вецтор

Може се слободно кретати у простору јер се његово поријекло креће у било коју точку без промјене модула, смисла или смјера.

Клизни вектор

То је онај који може померити своје порекло дуж линије деловања без промене модула, смисла или правца.

Вецторс пропертиес

Међу главним својствима вектора су:

Екуиполентес вецторс

То су они слободни вектори који имају исти модул, смер (или су паралелни) и осећају да клизни вектор или фиксни вектор.

Екуивалент Вецторс

То се дешава када два вектора имају исту адресу (или су паралелна), у истом смислу, и упркос томе што имају различите модуле и тачке примене, изазивају исте ефекте.

Једнакост вектора

Они имају исти модул, правац и смисао, иако су њихове полазне тачке различите, што омогућава да се паралелни вектор креће сам, без утицаја на њега..

Оппосите Вецторс

То су они који имају исти модул и смјер, али њихов смисао је супротан.

Вецтор унит

То је она у којој је модул једнак јединици (1). Ово се добија дељењем вектора са његовим модулом и користи се за одређивање правца и осећаја вектора, било у равни или у простору, користећи основни или унитизовани нормализовани вектор, који су:

Нулл вецтор

То је онај чији је модул једнак 0; то јест, њихова тачка поријекла и екстремно се поклапају у истој точки.

Компоненте вектора

Компоненте вектора су вредности пројекција вектора на оси референтног система; У зависности од декомпозиције вектора, који може бити у две или три димензије, добијају се две или три компоненте, односно.

Компоненте вектора су реални бројеви, који могу бити позитивни, негативни или чак нули (0).

Дакле, ако имамо вектор А, који потиче из правоугаоног координатног система у ки (дводимензионалној) равни, пројекција на к оси је андк, а пројекција на и осу је .и. Дакле, вектор ће бити изражен као сума његових компонентних вектора.

Примери

Први примјер

Имамо вектор А који почиње од порекла и дају се координате његових крајева. Дакле, вектор А = (Ак; Аи) = (4; 5) цм.

Ако вектор А делује на настанку тродимензионалног троугластог координатног система (у простору) к, и, з, у другу тачку (П), пројекције на њеним осима ће бити ,к, анди и ;з; према томе, вектор ће бити изражен као сума његових три компонентна вектора.

Други пример

Имамо вектор А који почиње од порекла и дају се координате његових крајева. Дакле, вектор А = (Ак; Аи; Аз) = (4; 6; -3) цм.

Вектори који имају своје правоугаоне координате могу бити изражени у смислу њихових базних вектора. За то, само свака координата мора бити помножена са својим одговарајућим јединичним вектором, тако да ће за равни и простор бити следећи:

За раван: А = Аки + Аиј.

За простор: А = Аки + Аиј + Азк.

Операције са векторима

Постоје многе величине које имају модул, смисао и правац, као што су убрзање, брзина, померање, сила, између осталих..

Оне се примењују у различитим областима науке, а да би се примениле у неким случајевима потребно је извршити операције као што су збрајање, одузимање, множење и дељење вектора и скалара..

Додавање и одузимање вектора

Додавање и одузимање вектора се сматра једном алгебарском операцијом, јер се одузимање може записати као сума; на пример, одузимање вектора Е и Е може се изразити као:

Е - Е = А + (-Е)

Постоје различити методи за извршавање збрајања и одузимања вектора: они могу бити графички или аналитички.

Графичке методе

Користи се када вектор има модул, смисао и правац. Да би се то постигло, цртају се линије које формирају слику која касније помаже у одређивању резултанта. Међу најпознатијим, издвајају се:

Метода паралелограма

Да би се збрајало или одузимало два вектора, тачка је изабрана заједнички на координатној оси - која ће представљати тачку порекла вектора, задржавајући њен модул, правац и правац..

Тада су линије нацртане паралелно са векторима да би се формирао паралелограм. Добијени вектор је дијагонала која излази из тачке поријекла оба вектора до врха паралелограма:

Триангле метход

У овој методи вектори се постављају један за другим, одржавајући њихове модуле, правце и правце. Добијени вектор ће бити унија порекла првог вектора са крајем другог вектора:

Аналитичке методе

Можете додати или одузети два или више вектора помоћу геометријског или векторског метода:

Геометријска метода

Када два вектора формирају троугао или паралелограм, модул и правац добијеног вектора може се одредити помоћу закона синуса и косинуса. Дакле, модул резултујућег вектора, примењујући закон косинуса и троугластим методом, добија се помоћу:

У овој формули β је угао који је супротан страни Р, а то је једнако 180º - Ɵ.

Насупрот томе, методом паралелограма добијени векторски модул је:

Правац добијеног вектора је дат под углом (α), који формира резултанта са једним од вектора.

По закону синуса, додавање или одузимање вектора може се извршити и методом троугла или паралелограма, знајући да су стране у сваком троуглу пропорционалне грудима углова:

Вецтор метход

Ово се може урадити на два начина: у зависности од њихових правоугаоних координата или њихових основних вектора.

То се може урадити преношењем вектора који се додају или одузимају пореклу координата, а затим свим пројекцијама на свакој оси за равни (к, и) или простор (к, и, з); коначно, њене компоненте се додају алгебарски. Дакле, за авион је:

Модул резултујућег вектора је:

Док је за простор то:

Модул резултујућег вектора је:

Приликом извршавања векторских сума примењују се неколико својстава:

- Асоцијативно својство: резултанта се не мења додавањем два вектора прво, а затим додавањем трећег вектора.

- Комутативна својства: редослијед вектора не мења резултат.

- Векторско својство вектора: ако се скалар помножи са сумом два вектора, он је једнак множењу скалара за сваки вектор.

- Скаларна дистрибутивна својства: ако је вектор помножен сумом два скалара, он је једнак множењу вектора за сваки скалар.

Множење вектора

Умножавање или производ вектора може се извршити као збрајање или одузимање, али при томе губи физичко значење и готово се никада не налази у апликацијама. Због тога су најчешће коришћени типови производа скаларни и векторски производ.

Скаларни производ

Познат је и као тачкасти производ два вектора. Када се модули два вектора множе са косинусом мањег угла који се формира између њих, добија се скалар. Да би се скаларни производ смештао између два вектора, између њих се поставља тачка, која се може дефинисати као:

Вредност угла који постоји између два вектора зависиће од тога да ли су паралелни или окомити; Дакле, морате:

- Ако су вектори паралелни и имају исти смисао, косинус 0º = 1.

- Ако су вектори паралелни и имају супротна чула, косинус 180º = -1.

- Ако су вектори окомити, косинус 90º = 0.

Тај угао се такође може израчунати знајући да:

Скаларни производ има следећа својства:

- Комутативна својства: редослијед вектора не мења скалар.

-Дистрибутивно својство: ако је скалар помножен са сумом два вектора, он је једнак множењу скалара за сваки вектор.

Вецтор продуцт

Векторско умножавање, или укрштени производ два вектора А и Б, резултираће новим вектором Ц и изражава се коришћењем укрштања вектора:

Нови вектор ће имати своје карактеристике. На тај начин:

- Правац: овај нови вектор ће бити окомит на раван, који је одређен оригиналним векторима.

- Смисао: ово се одређује правилом десне руке, где је вектор А ротиран у правцу Б тако што показује прстом у смеру ротације, а палцем је означен смисао вектора..

- Модул: се одређује множењем модула вектора АкБ, синусом најмањих углова који постоји између ових вектора. Изражава се:

Вредност угла који постоји између два вектора зависиће од тога да ли су паралелни или окомити. Затим, могуће је потврдити сљедеће:

- Ако су вектори паралелни и имају исти смисао, син 0º = 0.

- Ако су вектори паралелни и имају супротна чула, синус 180º = 0.

- Ако су вектори окомити, синус 90º = 1.

Када је векторски производ изражен у смислу његових основних вектора, он мора:

Скаларни производ има следећа својства:

- Она није комутативна: редослед вектора мења скалар.

- Дистрибутивно својство: ако је скалар помножен са сумом два вектора, он је једнак множењу скалара за сваки вектор.

Референце

  1. Алтман Наоми, М. К. (2015). "Једноставна линеарна регресија." Природне методе .
  2. Ангел, А.Р. (2007). Елементари Алгебра Пеарсон Едуцатион,.
  3. Артхур Гоодман, Л.Х. (1996). Алгебра и тригонометрија са аналитичком геометријом. Пеарсон Едуцатион.
  4. Гусиатников, П., & Резницхенко, С. (с.ф.). Алгебр то Вецториал ин Примери. Москва: Мир.
  5. Лаи, Д.Ц. (2007). Линеарна алгебра и њене примене. Пеарсон Едуцатион.
  6. Ллинарес, Ј.Ф. (2009). Линеарна алгебра: Векторски простор. Еуклидски векторски простор. Университи оф Алицанте.
  7. Мора, Ј.Ф. (2014). Линеарна алгебра Хомеланд.