Математичко логичко порекло, које студије, типови



Тхе математичка логика или симболичка логика је математички језик који укључује неопходне алате помоћу којих се математичко расуђивање може потврдити или одбити.

Познато је да у математици нема двосмислености. С обзиром на математички аргумент, ово је ваљано или једноставно није. Не може бити лажна и истинита у исто вријеме.

Посебан аспект математике је да она има формални и ригорозни језик кроз који се може утврдити ваљаност расуђивања. Шта је то што одређено расуђивање или неки математички доказ чини непобитним? То је математичка логика.

Дакле, логика је дисциплина математике која је одговорна за проучавање математичког расуђивања и демонстрација, и обезбеђује алате да би могла да закључи исправан закључак из претходних изјава или предлога.

Да би се то постигло, користи се аксиоми и други математички аспекти који ће се касније развити.

Индек

  • 1 Порекло и историја
    • Аристотел
  • 2 Које студије математичке логике?
    • 2.1
    • 2.2 Табеле истине
  • 3 Врсте математичке логике
    • 3.1 Области
  • 4 Референце

Порекло и историја

Тачни датуми у односу на многе аспекте математичке логике су неизвјесни. Међутим, већина библиографија на ту тему прати поријекло овога у античку Грчку.

Аристотел

Почетак ригорозног третмана логике дијелом се приписује Аристотелу, који је написао низ логичких радова, које су касније сакупљали и развијали различити филозофи и научници, све до средњег вијека. Ово се може сматрати "старом логиком".

Онда, у такозваном "Савременом добу", Леибниз, потакнут дубоком жељом да се успостави универзални језик за математички разум, и другим математичарима као што су Готтлоб Фреге и Гиусеппе Пеано, утицали су на развој математичке логике са великим доприносом. међу њима, аксиоми Пеано, који формулишу неопходне особине природних бројева.

Математичари Георге Бооле и Георг Цантор су такође били од великог утицаја у овом тренутку, са важним доприносима у теорији скупова и табелама истине, наглашавајући, између осталог, Боолеову алгебру (Георге Бооле) и Аксиом избора (од Георге Цантор).

Ту је и Аугустус Де Морган са познатим законима Моргана, који разматрају порицања, везнике, дисјункције и условљавање између пропозиција, кључева за развој симболичке логике, и Џона Венна са чувеним Веновим дијаграмима..

У 20. веку, отприлике између 1910. и 1913. године, Бертранд Русселл и Алфред Нортх Вхитехеад истичу се објављивањем Принципиа матхематица, скуп књига које прикупљају, развијају и постулирају низ аксиома и логичких резултата.

Какве студије математичке логике?

Пропоситионс

Математичка логика почиње проучавањем пропозиција. Предложак је потврда да се без икакве двосмислености може рећи ако је истинита или не. Следе примери предлога:

  • 2 + 4 = 6.
  • 52= 35.
  • Године 1930. дошло је до земљотреса у Европи.

Први је истинита тврдња, а друга лажна тврдња. Трећи, иако је могуће да особа која је чита, не зна да ли је истинита или одмах, то је изјава која се може верификовати и утврдити ако се то заиста догодило или не.

Следе примери израза који нису пропозиције:

  • Она је плавуша.
  • 2к = 6.
  • Хајде да се играмо!
  • Да ли волите биоскоп?

У првој тврдњи није прецизирано ко је "она", стога се ништа не може потврдити. У другој тврдњи, оно што је представљено са "к" није специфицирано. Ако је уместо тога речено да је 2к = 6 за неки природни број к, у овом случају би одговарало предлогу, у ствари истинито, јер је за к = 3 испуњен.

Последње две изјаве не одговарају предлогу, јер их нема начина да их порекнемо или потврдимо.

Две или више тврдњи се могу комбиновати (или повезати) користећи познате конекторе (или конекторе). То су:

  • Одбијање: "Не пада киша".
  • Дисјункција: "Луиса је купила белу или сиву торбу".
  • Цоњунцтион: "42= 16 и 2 × 5 = 10 ".
  • Условно: "Ако пада киша, не идем у теретану данас поподне".
  • Бицондитионал: "Идем у теретану данас поподне, и само ако, не пада киша".

Тврдња која не поседује ниједну од претходних везивних, назива се једноставна претпоставка (или атомска). На пример, "2 је мање од 4", је једноставан предлог. Пропозиције које имају неке везе су назване сложене пропозиције, као на пример "1 + 3 = 4 и 4 је паран број".

Изјаве направљене путем предлога су обично дугачке, тако да је досадно писати их увек као што смо до сада видели. Из тог разлога, користи се симболички језик. Предлози су обично представљени великим словима као што су П, К, Р, С, итд. И симболичка повезница је следећа:

Тако да

Тхе реципроцал условног предлога

је предлог

И то цоунтеррепроацх (или контрапоситивно) пропозиције

је предлог

Таблице истине

Још један важан концепт у логици је и табела истине. Истините вредности пропозиције су две могућности које су доступне за пропозицију: истина (која ће бити означена са В и њена истинитост ће се рећи да је В) или лажна (која ће бити означена са Ф и њена вредност ће бити \ т стварно је Ф).

Истинитост сложене пропозиције зависи искључиво од истинитих вредности једноставних тврдњи које се појављују у њој.

Да бисмо радили уопштеније, нећемо разматрати специфичне пропозиције, већ пропозиционе варијабле п, к, р, с, итд., који ће представљати било какве пропозиције.

Са овим варијаблама и логичким везама, добро познате формуле пропозиција формирају се као што се састављају сложене тврдње.

Ако је свака од варијабли које се појављују у пропозиционалној формули замењена пропозицијом, добија се композитни предлог.

У наставку су табеле истине за логичке везе:

Постоје пропозиционе формуле које примају само вредност В у својој табели истине, односно последња колона њихове табеле истине има само вредност В. Овај тип формула је познат као таутологија. На пример:

Следи табела истине формуле

Речено је да формула α логички имплицира другу формулу β, ако је α тачно сваки пут када је β тачно. То јест, у табели истине α и β, редови у којима α има В, β такодје има В. Само интересантни редови у којима α имају вриједност В. Ознака за логичку импликацију је сљедећа: :

Следећа табела сумира особине логичке импликације:

Речено је да су две пропозиционе формуле логички еквивалентне ако су њихове табеле истине идентичне. Следећа нотација се користи за изражавање логичке еквиваленције:

Следеће табеле сумирају особине логичке еквиваленције:

Типови математичке логике

Постоје различите врсте логике, посебно ако се узме у обзир прагматична или неформална логика која указује на филозофију, између осталог.

Што се тиче математике, типови логике могу се сумирати на следећи начин:

  • Формална или аристотелијска логика (античка логика).
  • Пропозицијска логика: одговорна је за проучавање свега што се односи на валидност аргумената и пропозиција користећи формални језик, а такође и симболично.
  • Симболичка логика: фокусирана на проучавање скупова и њихових својстава, такође са формалним и симболичким језиком, и дубоко је повезана са пропозицијском логиком.
  • Комбинаторна логика: једна од недавно развијених, укључује резултате који се могу развити алгоритмима.
  • Логичко програмирање: користи се у различитим пакетима и програмским језицима.

Ареас

Међу подручјима која користе математичку логику на незамјењив начин у развоју њихових расуђивања и аргумената, они истичу филозофију, теорију скупова, теорију бројева, конструктивну алгебарску математику и програмске језике..

Референце

  1. Аилвин, Ц. У. (2011). Логика, сетови и бројеви. Мерида - Венецуела: Савет публикација, Универсидад де Лос Андес.
  2. Баррантес, Х., Диаз, П., Мурилло, М., & Сото, А. (1998). Увод у теорију бројева. ЕУНЕД.
  3. Цастанеда, С. (2016). Основни курс из теорије бројева. Универзитет на северу.
  4. Цофре, А., & Тапиа, Л. (1995). Како развити математичко логичко расуђивање. Университи Едиториал.
  5. Зарагоза, А.Ц. (с.ф.). Теорија бројева. Књиге уредничке визије.