Закони Морган



Тхе лочи Морган то су правила закључивања која се користе у логици пропозиција, која успостављају оно што је резултат порицања дисјункције и коњункције пропозиција или пропозицијских варијабли. Ове законе дефинисао је математичар Аугустус Де Морган.

Морганови закони представљају веома корисно средство да се покаже валидност математичког расуђивања. Касније су генерализовани у оквиру концепта математичара Георгеа Боолеа.

Ова генерализација коју је направио Бооле је потпуно еквивалентна Моргановим почетним законима, али је развијена посебно за скупове, а не за пропозиције. Ова генерализација је позната и као Морганов закон.

Индек

  • 1 Преглед логике пропозиције
    • 1.1 Погрешно
    • 1.2 Пропозиције
  • Морганови закони
    • 2.1 Демонстрација
  • 3 Сетс
    • 3.1 Унија, пресек и допуне скупова
  • Морганови закони за скупове
  • 5 Референце

Преглед пропозиционе логике

Пре него што погледамо шта су конкретно Морганови закони и како се они користе, погодно је запамтити неке основне појмове пропозиционе логике. (За више детаља погледајте чланак о предложеној логици).

У пољу математичке (или пропозиционе) логике, закључак је закључак који се емитује из скупа премиса или хипотеза. Овај закључак, заједно са поменутим премисама, доводи до тога што је познато као математичко расуђивање.

Ово образложење мора бити у стању да се демонстрира или одбије; то значи да нису сви закључци или математички закључци валидни.

Фаллаци

Лажни закључак који се емитује из одређених претпоставки за које се претпоставља да су истините, познат је као заблуда. Погрешке имају особитост да су аргументи исправни, али математички нису.

Пропозициона логика је задужена за прецизно развијање и пружање метода помоћу којих се, без икакве двосмислености, може потврдити или оповргнути математички закључак; из тога произилази ваљани закључак из просторија. Ове методе су познате као правила закључивања, чији су део Морганови закони.

Пропоситионс

Суштински елементи пропозиционе логике су пропозиције. Предлози су изјаве о којима се може рећи да ли су валидне или не, али да не могу бити истините или лажне у исто вријеме. Не би требало да постоји двосмисленост у овом питању.

Баш као што се бројеви могу комбиновати кроз операције збрајања, одузимања, множења и поделе, пропозиције се могу управљати помоћу познатих везних (или конектора) логичких: негација (¬, "не"), дисјункција (В) , "О"), везник (Ʌ, "и"), условно (→, "ако ..., онда ...") и бикондиционално (↔, "да, и само ако").

Да бисмо радили уопштеније, уместо да разматрамо специфичне пропозиције, разматрамо пропозиционе варијабле које представљају било које пропозиције и обично их означавамо малим словима п, к, р, с, итд..

Пропозицијска формула је комбинација пропозицијских варијабли кроз неке од логичких веза. Другим ријечима, то је састав пропозицијских варијабли. Обично се означавају грчким словима.

Речено је да формула пропозиције логично имплицира друго када је ово истинито сваки пут када је прво истинито. Ово је означено са:

Када је логичка импликација између две пропозиционе формуле реципрочна - то јест, када је претходна импликација валидна иу супротном смеру - за формуле се каже да су логички еквивалентне и означене су са

Логичка еквивалентност је својеврсна једнакост између пропозицијских формула и дозвољава да се једна замени за другу када је то потребно.

Закони Морган

Морганови закони се састоје од две логичке еквиваленције између два пропозициона облика, и то:

Ови закони дозвољавају да се раздвоји негација дисјункције или коњукције, као негације укључених варијабли.

Први се може читати на следећи начин: негација дисјункције је једнака коњункцији негација. И други гласи овако: негација коњункције је дисјункција негација.

Другим речима, порицање дисјункције две пропозиционе варијабле је еквивалентно коњункцији негација обе варијабле. Слично томе, порицати коњункцију две пропозиционе варијабле је еквивалентно дисјункцији негација обе варијабле..

Као што је раније поменуто, замена ове логичке еквиваленције помаже да се покажу важни резултати, заједно са другим постојећим правилима закључивања. Овим можете поједноставити многе пропозиционе формуле, тако да су оне корисније за рад.

Следи пример математичког доказа који користи правила закључивања, међу овим Моргановим законима. Конкретно, показано је да формула:

је еквивалентно:

Ово друго је једноставније разумјети и развијати.

Демонстрација

Вреди напоменути да се валидност Морганових закона може показати математички. Један од начина је поређење таблица истине.

Сетс

Иста правила закључивања и појмови логике који се примењују на пропозиције, такође могу да се развију с обзиром на скупове. То је оно што је познато као Боолеова алгебра, након математичара Георгеа Боолеа.

Да би се разликовали случајеви, неопходно је променити нотацију и прелазак на скупове, све појмове који су већ виђени из пропозиционе логике..

Скуп је скуп објеката. Сетови су означени великим словима А, Б, Ц, Кс, ... а елементи скупа су означени малим словима а, б, ц, к, итд. Када елемент а припада скупу Кс, он се означава са:

Када не припада Кс, ознака је:

Начин представљања скупова је постављање њихових елемената унутар кључева. На пример, скуп природних бројева представља:

Сетови се могу представити и без писања експлицитне листе њихових елемената. Могу се изразити у облику :. Две тачке се читају "тако да". Варијабла која представља елементе скупа поставља се лево од две тачке, а својство или услов који задовољавају се поставља на десну страну. Ово је:

На пример, скуп целих бројева већих од -4 може се изразити као:

Или еквивалентно, и скраћено, као:

Слично томе, следећи изрази представљају скупове парних и непарних бројева, редом:

Унија, пресек и допуне скупова

Затим ћемо видети аналоге логичке конекције у случају скупова, који су део основних операција између скупова.

Унија и раскрсница

Синдикат и пресек скупова су дефинисани на следећи начин:

На пример, размотрите скупове:

Затим морате:

Комплемент

Комплемент скупа чине елементи који не припадају том скупу (истог типа који представља оригинал). Допуна скупа А, означена је са:

На пример, унутар природних бројева, комплемент сета парних бројева је од непарних бројева, и обрнуто.

Да би се утврдила допуна скупа, мора бити јасно од почетка универзални или главни скуп елемената који се разматрају. На пример, није једнако разматрати комплемент скупа на природним бројевима који су на рационалним.

Следећа табела приказује однос или аналогију која постоји између операција на претходно дефинисаним скуповима, и везних у пропозиционој логици:

Морганови закони за сетове

Коначно, Морганови закони о скуповима су:

Речима: комплемент синдиката је пресек комплемента, а комплемент раскрснице је сједињавање комплета.

Математички доказ прве једнакости био би сљедећи:

Демонстрација другог је аналогна.

Референце

  1. Алмагуер, Г. (2002). Математика 1. Едиториал Лимуса.
  2. Аилвин, Ц. У. (2011). Логика, сетови и бројеви. Мерида - Венецуела: Савет публикација, Универсидад де Лос Андес.
  3. Баррантес, Х., Диаз, П., Мурилло, М., & Сото, А. (1998). Увод у теорију бројева. ЕУНЕД.
  4. Цастанеда, С. (2016). Основни курс из теорије бројева. Универзитет на северу.
  5. Цофре, А., & Тапиа, Л. (1995). Како развити математичко логичко расуђивање. Университи Едиториал.
  6. Гуевара, М.Х. (с.ф.). Теорија бројева. ЕУНЕД.
  7. Зарагоза, А.Ц. (с.ф.). Теорија бројева. Књиге уредничке визије.