Закони о експонатима (са решеним примерима и вежбама)

Тхе закони експонената су оне које се односе на тај број који означава колико пута се основни број мора помножити сам са собом. Експоненти су такође познати као силе. Потенцијација је математичка операција која се састоји од базе (а), експонента (м) и снаге (б), која је резултат операције..

Експоненти се генерално користе када се користе велике количине, јер су то само скраћенице које представљају множење тог истог броја одређеног броја пута. Експоненти могу бити и позитивни и негативни.

Индек

• 1 Објашњење закона експонената
  • 1.1 Први закон: експонентна снага једнака 1
  • 1.2 Други закон: експонентна снага једнака 0
  • 1.3 Трећи закон: негативни експонент
  • 1.4 Четврти закон: умножавање моћи са једнаком основом
  • 1.5 Пети закон: подела власти са једнаком основом
  • 1.6. Шести закон: умножавање моћи са другом основом
  • 1.7 Седми закон: подела власти на другу основу
  • 1.8 Осми закон: моћ моћи
  • 1.9 Девети закон: фракцијски експонент
• 2 Вежбе решене
  • 2.1 Вежба 1
  • 2.2 Вежба 2
• 3 Референце

Објашњење закона експонената

Као што је речено раније, експоненти су скраћени облик који представља множење бројева по себи неколико пута, при чему је експонент само везан за број на левој страни. На пример:

2³ = 2 * 2 * 2 = 8

У том случају број 2 је основица снаге, која ће се множити 3 пута као што је назначено експонентом, који се налази у горњем десном углу базе. Постоје различити начини читања израза: 2 подигнута на 3 или такођер 2 подигнута на коцку.

Експоненти такође указују на то колико пута се могу поделити, а да би се ова операција разликовала од множења, експонент носи знак минус (-) испред њега (он је негативан), што значи да је експонент у имениоцу а фракција. На пример:

2^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Ово не треба мешати са случајем у коме је база негативна, јер ће зависити од тога да ли је експонент паран или непаран да би се утврдило да ли ће снага бити позитивна или негативна. Дакле, морате:

- Ако је експонент једнак, снага ће бити позитивна. На пример:

(-7)² = -7 _* -7 = 49.

- Ако је експонент непаран, снага ће бити негативна. На пример:

(-2)⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Постоји посебан случај у коме је, ако је експонент једнак 0, снага једнака 1. Постоји и могућност да је база 0; у том случају, овисно о изложеном, моћ ће бити неодређена или не.

За извођење математичких операција са експонатима, потребно је слиједити неколико правила или правила која олакшавају проналажење рјешења за ове операције.

Први закон: експонентна снага једнака 1

Када је експонент 1, резултат ће бити иста вредност базе: а¹ = а.

Примери

9¹ = 9.

22¹ = 22.

895¹ = 895.

Други закон: експонентна снага једнака 0

Када је експонент 0, ако је база не-нула, резултат ће бити:, а⁰ = 1.

Примери

1⁰ = 1.

323⁰= 1.

1095⁰ = 1.

Трећи закон: негативни експонент

Пошто је експонат негативан, резултат ће бити фракција, где ће снага бити именилац. На пример, ако је м позитиван, онда а^-м = 1 / а^м.

Примери

- 3^-1 = 1/3.

- 6^-2 = 1/6² = 1/36.

- 8^-3 = 1/8³ = 1/512.

Четврти закон: умножавање моћи са једнаком основом

Да би се умножила снага где су базе једнаке и различите од 0, база се одржава и додају се експоненти: а^м _* а^н = а^{м + н}.    

Примери

- 4⁴_* 4³ = 4^{4 + 3} = 4⁷

- 8¹ _* 8⁴ = 8^{1 + 4} = 8⁵

- 2² _* 2⁹ = 2^{2 + 9} = 2¹¹

Пети закон: подела власти са једнаком основом

Да би поделили силе у којима су базе једнаке и различите од 0, база се одржава и експоненти се одузимају на следећи начин:^м / а^н = а^м-н.    

Примери

- 9² / 9¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9¹.

- 6¹⁵ / 6¹⁰ = 6 ^{(15 - 10)} = 6⁵.

- 49¹² / 49⁶ = 49 ^{(12 - 6)} = 49⁶.

Шести закон: умножавање моћи са различитим основама

У овом закону имамо супротно од онога што је изражено у четвртом; то јест, ако постоје различите базе, али са једнаким експонентима, базе се множе и експонент се одржава: а^м _* б^м = (а_*б) ^м.

Примери

- 10² _* 20² = (10 _* 20)² = 200².

- 45¹¹_* 9¹¹ = (45 * 9)^{11 =} 405¹¹.

Други начин представљања овог закона је када је умножавање уздигнуто до моћи. Дакле, експонент ће припадати сваком од термина: (а_*б)^м= а^м_* б^м.

Примери

- (5_*8)⁴ = 5⁴_* 8⁴ = 40⁴.

- (23 * 7)⁶ = 23⁶_* 7⁶ = 161⁶.

Седми закон: подела власти са другом базом

Ако постоје различите основе, али са једнаким експонентима, базе су подељене и експонент се одржава: а^м / б^м = (а / б)^м.

Примери

- 30³ / 2³ = (30/2)³ = 15³.

- 440⁴ / 80⁴ = (440/80)⁴ = 5.5⁴.

Слично томе, када се подела подигне на моћ, експонент ће припадати сваком од термина: (а / б) ^м = а^м / б^м.

Примери

- (8/4)⁸ = 8⁸ / 4⁸ = 2⁸.

- (25/5)² = 25² / 5² = 5².

Постоји случај у коме је експонент негативан. Дакле, да би била позитивна, вредност нумератора је инвертована са вредношћу имениоца, на следећи начин:

- (а / б)^-н = (б / а)^н = б^н / а^н.

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5⁹ / 4⁴.

Осми закон: моћ моћи

Када имате снагу која је подигнута на другу снагу - која је, два експонента у исто време -, база се одржава и експоненти се множе: (а)^м)^н= а^{м *н}.

Примери

- (8³)² = 8 ^{(3 * 2)} = 8⁶.

- (13⁹)³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13²⁷.

- (238)¹⁰)¹² = 238^{(10 * 12)} = 238¹²⁰.

Девети закон: фракцијски експонент

Ако снага има фракцију као експонент, она се решава претварањем у н-ти корен, где нумератор остаје као експоненат, а именилац представља индекс корена:

Решене вежбе

Вежба 1

Израчунајте операције између снага које имају различите основе:

2⁴_* 4⁴ / 8².

Решење

Примјењујући правила експонента, у бројнику се множе базе и одржава експонент, као што је:

2⁴_* 4⁴ / 8²= (2_*4)⁴ / 8²  = 8⁴ / 8²

Сада, пошто имамо исте базе, али са различитим експонентима, база се одржава и експоненти се одузимају:

 8⁴ / 8² = 8^{(4 - 2)} = 8²

Вежба 2

Израчунајте операције између високих снага на другу снагу:

(3²)³_* (2) _* 6⁵)^-2_* (2)²)³

Решење

Примјењујући законе, морате:

(3²)³_* (2) _* 6⁵)^-2_* (2)²)³

= 3⁶_* 2^-2_* 2^-10 _* 2⁶

= 3⁶_* 2^{(-2) + (- 10)} _* 2⁶

= 3⁶ _*  2^-12_* 2⁶

= 3⁶ _* 2^{(-12) + (6)}

= 3⁶ _* 2⁶

= (3_*2)⁶

= 6⁶

= 46,656

Референце

1. Апонте, Г. (1998). Основи основне математике. Пеарсон Едуцатион.
2. Цорбалан, Ф. (1997). Математика се примењује у свакодневном животу.
3. Јименез, Ј.Р. (2009). Математика 1 СЕП.
4. Мак Петерс, В. Л. (1972). Алгебра и тригонометрија.
5. Реес, П.К. (1986). Реверте.