Историја еуклидске геометрије, основни концепти и примјери

Тхе Еуклидска геометрија одговара проучавању својстава геометријских простора гдје су задовољни аксиоми Еуклида. Иако се овај термин понекад користи да обухвати геометрије које имају супериорне димензије са сличним својствима, обично је синоним за класичну геометрију или равну геометрију..

У трећем веку а. Ц. Еуклид и његови ученици су написали Елементи, рад који је обухватио математичко знање времена обдареног логичко-дедуктивном структуром. Од тада, геометрија је постала наука, у почетку за решавање класичних проблема и еволуирала у формативну науку која помаже да се разуме.

Индек

• 1 Хистори
• 2 Основни појмови
  • 2.1 Заједничке представе
  • 2.2 Постулати или аксиоми
• 3 Примери
  • 3.1 Први пример
  • 3.2 Други пример
  • 3.3 Трећи пример
• 4 Референце

Хистори

Да би говорили о историји еуклидске геометрије, неопходно је почети са Еуклидом у Александрији и Елементи.

Када је Египат био у рукама Птоломеја И, након смрти Александра Великог, почео је свој пројекат у школи у Александрији.

Међу мудрацима који су предавали у школи био је Еуклид. Претпоставља се да му је рођење отприлике 325 а. Ц. и његова смрт 265 а. Ц. Можемо са сигурношћу знати да је отишао у Платонову школу.

Више од тридесет година Еуклид је предавао у Александрији, градећи своје познате елементе: почео је да пише исцрпан опис математике свог времена. Еуклидова учења су произвела одличне ученике, као што су Архимед и Аполоније из Перге.

Еуклид је био одговоран за структурирање различитих открића класичних Грка у Елементи, али за разлику од својих претходника, не ограничава се само на тврдњу да је теорема истинита; Еуцлидес нуди демонстрацију.

Тхе Елементи Они су збирка од тринаест књига. После Библије, то је најтиражнија књига, са више од хиљаду издања.

Тхе Елементи је ремек дело Еуклида у области геометрије, и нуди дефинитиван третман геометрије две димензије (равни) и три димензије (простор), што је порекло онога што сада знамо као еуклидску геометрију.

Основни концепти

Елементи су сачињени од дефиниција, заједничких појмова и постулата (или аксиома) праћених теоремима, конструкцијама и демонстрацијама.

- Поента је у томе што нема делова.

- Линија је дужине која нема ширину.

- Равна линија је она која лежи једнако у односу на тачке које су у овом.

- Ако су два реза исечена тако да су суседни углови једнаки, углови се називају правим, а линије се називају вертикале..

- Паралелне линије су оне које се, у истој равни, никада не режу.

Након ових и других дефиниција, Еуклид представља листу од пет постулата и пет појмова.

Уобичајени појмови

- Две ствари које су једнаке трећини једнаке су једна другој.

- Ако се истим стварима додају једнаке ствари, резултати су исти.

- Ако се једнаке ствари одузму од истих ствари, резултати су исти.

- Ствари које се међусобно слажу су једнаке једна другој.

- Укупан број је већи од дела.

Постулате или аксиоме

- За две различите тачке пролази једна и само једна линија.

- Равне линије се могу продужити неограничено.

- Можете нацртати круг са било којим центром и било којим радијусом.

- Сви прави углови су исти.

- Ако правац прелази две равне линије тако да унутрашњи углови исте стране додају мање од два правоугаона, онда се две линије укрштају на тој страни.

Овај последњи постулат је познат као постулат паралела и преформулисан је на следећи начин: "За тачку изван линије, можете нацртати једну паралелу датој линији".

Примери

Следеће, неке теореме Елементи они ће послужити да покажу својства геометријских простора у којима су испуњени пет постулата Еуклида; Поред тога, они ће илустровати логичко-дедуктивно резоновање које овај математичар користи.

Први примјер

Предлог 1.4. (ЛАЛ)

Ако два троугла имају две стране и угао између њих је једнак, онда су остале стране и други углови једнаки.

Демонстрација

Нека су АБЦ и А'Б'Ц 'два троугла са АБ = А'Б', АЦ = А'Ц ', а углови БАЦ и Б'А'Ц' једнаки. Пређите у троугао А'Б'Ц 'тако да се А'Б' подудара са АБ и да се угао Б'А'Ц 'подудара са углом БАЦ.

Тада се линија А'Ц 'поклапа са линијом АЦ, тако да се Ц' поклапа са Ц. Затим, постулатом 1, линија БЦ мора да се поклапа са линијом Б'Ц '. Дакле, два троугла се подударају и, према томе, њихови углови и стране су једнаки.

Други пример

Предлог 1.5. (Понс Асинорум)

Ако троугао има две једнаке стране, онда су углови супротни тим странама једнаки.

Демонстрација

Претпоставимо да троугао АБЦ има једнаке стране АБ и АЦ.

Тада троуглови АБД и АЦД имају две једнаке стране и углови између њих су једнаки. Дакле, по предлогу 1.4, углови АБД и АЦД су једнаки.

Трећи пример

Предлог 1.31

Можете да направите линију паралелну линији датој датом тачком.

ЦОНСТРУЦТИОН

С обзиром на линију Л и тачку П, нацртана је права линија М која пролази кроз П и сече у Л. Тада П повлачи правац Н, који сече до Л. Сада, ми пратимо са П раван Н који сече до М, формирајући угао једнак оном који Л формира са М.

Афирмација

Н је паралелан са Л.

Демонстрација

Претпоставимо да Л и Н нису паралелни и пресецају се у тачки А. Нека је Б тачка на Л иза А. Размотримо линију О која пролази кроз Б и П. Затим, О сече до М формирајући углове који додају мање од два равно.

Затим, линија 1.5 мора да сече до линије Л на другој страни М, тако да се Л и О секу у две тачке, што је у супротности са постулатом 1. Дакле, Л и Н морају бити паралелни..

Референце

1. Елементи геометрије. Национални аутономни универзитет у Мексику
2. Еуцлид Првих шест књига и једанаести и дванаести елемент Еуклида
3. Еугенио Филлои Иагуе. Дидактика и историја еуклидске геометрије Ибероамеричка уредничка група
4. К.Рибников. Историја математике Мир Едиториал
5. Вилориа, Н., & Леал, Ј. (2005) Флат Аналитицал Геометри. Венезуелан Ц.А Едиториал.