Метод синтетичке поделе и решене вежбе

Тхе синтетичка подела то је једноставан начин дељења полинома П (к) било којим од облика д (к) = к - ц. То је веома корисна алатка јер, поред тога што нам омогућава да поделимо полиноме, такође нам омогућава да проценимо полином П (к) у било ком броју ц, што нам опет говори тачно да ли је овај број нула или не полинома.

Захваљујући алгоритму поделе знамо да ако имамо два полинома П (к) и д (к) не константни, постоје полиноми к (к) и р (к) јединствен тако да је тачно да је П (к) = к (к) д (к) + р (к), где је р (к) нула или је мање од к (к). Ови полиноми су познати као квоцијенти и остаци или остатак.

У случајевима када полином д (к) има облик к-ц, синтетичка подела нам даје кратак начин проналажења ко су к (к) и р (к).

Индек

• 1 Метод синтетичке поделе
• 2 Вежбе решене
  • 2.1 Пример 1
  • 2.2 Пример 2
  • 2.3 Пример 3
  • 2.4 Пример 4
• 3 Референце

Метода синтетичке поделе

Нека је П (к) = а_нк^н+а_н-1к^н-1+... + а₁к + а₀ полином желимо да поделимо и д (к) = к-ц делитељ. Да би се поделили методом синтетичке поделе, поступили смо на следећи начин:

1- Пишемо коефицијенте П (к) у првом реду. Ако се не појави било која снага Кс, стављамо нулу као њен коефицијент.

2- У другом реду, лево од а_н место ц и цртање линија раздвајања како је приказано на следећој слици

3- Спуштамо водећи коефицијент на трећи ред.

У овом изразу б_н-1= а_н

4- Помножимо ц са водећим коефицијентом б_н-1 а резултат се пише у другом реду, али колона десно.

5 - Додајемо колону у којој смо написали претходни резултат и резултат који смо ставили под ту суму; то јест, у истој колони, трећи ред.

Додавањем, имамо као резултат_н-1+ц * б_н-1, које ћемо због погодности назвати б_н-2

6- Умножавамо ц претходним резултатом и уписујемо резултат у његов десни у другом реду.

7- Понављамо кораке 5 и 6 док не достигнемо коефицијент а₀.

8- Напишите одговор; то јест, квоцијент и остатак. Како вршимо поделу полинома степена н између полинома степена 1, имамо да је озбиљан квоцијент степена н-1.

Коефицијенти полинома количника биће бројеви трећег реда осим последњег, који ће бити резидуални полином или остатак дељења.

Решене вежбе

Пример 1

Извршите следећу поделу методом синтетичке поделе:

(к⁵+3к⁴-7к³+2к²-8к + 1): (к + 1).

Решење

Прво пишемо коефицијенте дивиденде на следећи начин:

Тада пишемо ц на левој страни, у другом реду, заједно са линијама дељења. У овом примеру ц = -1.

Снижавамо водећи коефицијент (у овом случају б_н-1 = 1) и помножите га са -1:

Ваш резултат уносимо десно у другом реду, као што је приказано испод:

Додајемо бројеве у другу колону:

Помножимо 2 са -1 и запишемо резултат у трећу колону, други ред:

Додамо у трећу колону:

Ми настављамо аналогно док не дођемо до последње колоне:

Дакле, имамо да је последњи добијени број остатак дељења, а преостали бројеви су коефицијенти квоцијентног полинома. Ово се пише на следећи начин:

Ако желимо да проверимо да ли је резултат тачан, довољно је да проверимо да ли је следећа једначина испуњена:

П (к) = к (к) * д (к) + р (к)

Тако да можемо да потврдимо да је добијени резултат тачан.

Пример 2

Извршите следећу поделу полинома методом синтетичке поделе

(7к³-к + 2): (к + 2)

Решење

У овом случају имамо термин к² она се не појављује, па ћемо као њен коефицијент уписати 0. Дакле, полином би био као 7к³+0к²-к + 2.

Пишемо њихове коефицијенте у низу, то је:

Пишемо вредност Ц = -2 на леву страну у другом реду и нацртамо линије дељења.

Снижавамо водећи коефицијент б_н-1 = 7 и помножимо га са -2, пишући његов резултат у другом реду десно.

Додајемо и настављамо као што је претходно објашњено, док не дођемо до последњег термина:

У овом случају, остатак је р (к) = - 52, а добивени количник је к (к) = 7к²-14к + 27.

Пример 3

Други начин да се користи синтетичка подела је следећа: претпоставимо да имамо полином П (к) степена н и желимо да знамо шта је вредност када је вреднује у к = ц.

Алгоритмом поделе имамо да можемо написати полином П (к) на следећи начин:

У овом изразу к (к) и р (к) су квоцијент и остатак. Сада, ако је д (к) = к- ц, при оцењивању у ц у полиному налазимо следеће:

За ово само требамо наћи р (к), а то можемо учинити захваљујући синтетичкој подјели.

На пример, имамо полином П (к) = к⁷-9к⁶+19к⁵+12к⁴-3к³+19к²-37к-37 и желимо да знамо која је његова вредност када је вреднујемо у к = 5. За ово изводимо поделу између П (к) и д (к) = к -5 методом синтетичке поделе:

Када се операције заврше, знамо да можемо писати П (к) на следећи начин:

П (к) = (к⁶-4к⁵ -к⁴+ 7к³ +32к² +179к + 858) * (к-5) + 4253

Стога, приликом оцењивања морамо:

П (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

П (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

П (5) = 0 + 4253 = 4253

Као што можемо видјети, могуће је користити синтетичку подјелу да бисмо пронашли вриједност полинома при оцјењивању у ц умјесто да једноставно замијенимо ц са к. 

Ако бисмо покушали да проценимо П (5) на традиционалан начин, требало би да извршимо неке прорачуне које теже да постану досадне.

Пример 4

Алгоритам поделе за полиноме је такође испуњен за полиноме са комплексним коефицијентима и, као последица тога, имамо да метода синтетичке поделе ради и за наведене полиноме. Затим ћемо видети пример.

Користићемо метод синтетичке поделе да покажемо да је з = 1+ 2и нула полинома П (к) = к³+ (1 + и) к² -(1 + 2и) к + (15 + 5и); то јест, остатак поделе П (к) између д (к) = к - з једнак је нули.

Настављамо као и раније: у првом реду уписујемо коефицијенте П (к), затим у другом пишемо з и цртамо линије поделе.

Направили смо поделу као пре; ово је:

Видимо да је остатак нула; стога закључујемо да је з = 1+ 2и нула од П (к).

Референце

1. Балдор Аурелио. Алгебра. Патриа Едиториал Гроуп.
2. Демана, Ваитс, Фолеи & Кеннеди. Прекалкулација: Граф, нумерички, алгебарски 7. Ед Пеарсон Едуцатион.
3. Флемминг В & Варсерг Д. Алгебра и тригонометрија са аналитичком геометријом. Прентице Халл
4. Мицхаел Сулливан. Прецалцулус 4тх Ед. Пеарсон Едуцатион.
5. Црвено Армандо О. Алгебра 1 6тх Ед. Атхенаеум.