Дистрибуције дискретних карактеристика вероватноће и вежби

Тхе Дискретне дистрибуције вероватноће су функција која додјељује сваком елементу Кс (С) = к1, к2, ..., ки, ..., гдје је Кс задана дискретна случајна варијабла, а С њен простор узорка, вјеројатност да ће се тај догађај догодити. Ова функција ф од Кс (С) дефинисана као ф (ки) = П (Кс = ки) понекад се назива функција вероватноће масе.

Ова маса вероватноћа је обично представљена као табела. Пошто је Кс дискретна случајна променљива, Кс (С) има коначан број догађаја или бројну бесконачност. Међу најчешћим дискретним дистрибуцијама вероватноће имамо једноличну дистрибуцију, биномну дистрибуцију и Поиссонову дистрибуцију.

Индек

• 1 Карактеристике
• 2 Типови
  • 2.1 Једнака дистрибуција преко н тачака
  • 2.2 Биномна дистрибуција
  • 2.3 Поиссонова дистрибуција
  • 2.4. Хипергеометријска дистрибуција
• 3 Вежбе решене
  • 3.1 Прва вежба
  • 3.2 Друга вјежба
  • 3.3 Трећа вјежба
  • 3.4 Трећа вјежба
• 4 Референце

Феатурес

Функција расподеле вероватноће мора да испуњава следеће услове:

Такође, ако Кс узима само коначан број вредности (на пример к1, к2, ..., кн), онда п (ки) = 0 ако је и> ни, стога бесконачни низ услова б постаје а фините сериес.

Ова функција такође испуњава следеће особине:

Нека је Б догађај повезан са случајном варијаблом Кс. То значи да је Б садржан у Кс (С). Конкретно, претпоставимо да је Б = ки1, ки2, .... Стога:

Другим речима: вероватноћа догађаја Б је једнака збиру вероватноћа појединачних резултата повезаних са Б.

Из овога се може закључити да ако: а < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

Типови

Уједначена дистрибуција преко н тачака

Речено је да случајна променљива Кс следи расподелу која је карактеристична по томе што је једнака у н тачака ако је свакој вредности додељена иста вероватноћа. Његова масена функција је:

Претпоставимо да имамо експеримент који има два могућа исхода, то може бити бацање новчића чији су могући исходи лице или печат, или избор целог броја чији резултат може бити паран број или непаран број; овај тип експеримента је познат као Берноуллијеви тестови.

Уопштено, два могућа исхода се називају успех и неуспех, где је п вероватноћа успеха и 1-п неуспеха. Можемо одредити вероватноћу к успеха у н Бернулијевим тестовима који су независни један од другог са следећом дистрибуцијом.

Биномна дистрибуција

То је та функција која представља вероватноћу добијања к успеха у н независним Бернулијевим тестовима, чија је вероватноћа успеха п. Његова масена функција је:

Следећи график представља масу функције вероватноће за различите вредности параметара биномне дистрибуције.

Сљедећа дистрибуција дугује своје име француском математичару Симеону Поиссону (1781-1840), који га је добио као границу биномне расподјеле..

Поиссонова дистрибуција

Речено је да случајна променљива Кс има Поиссонову расподелу параметра λ када може узети позитивне целобројне вредности 0,1,2,3, ... са следећом вероватноћом:

У овом изразу λ је просечан број који одговара појавама догађаја за сваку јединицу времена, а к је број пута када се догађај десио..

Његова масена функција је:

Затим, граф који представља функцију масе вероватноће за различите вредности параметара Поиссонове дистрибуције.

Имајте на уму да, све док је број успеха низак и да је број н тестова изведених у биномној расподели висок, можемо увек апроксимирати ове дистрибуције, јер је Поиссонова дистрибуција граница биномне расподеле..

Главна разлика између ове две расподеле је та што, док биномна зависи од два параметра - наиме, н и п -, Поиссон-ова зависи само од λ, што се понекад назива и интензитет дистрибуције..

До сада смо говорили само о дистрибуцијама вјероватноће за случајеве у којима су различити експерименти међусобно независни; то јест, када резултат једног не утиче на неки други резултат.

Када дође до експеримента који нису независни, хипергеометријска дистрибуција је веома корисна.

Хипергеометриц дистрибутион

Нека је Н укупан број објеката коначног скупа, од којих можемо на неки начин идентифицирати к, формирајући подскуп К, чију комплементе формирају преостали Н-к елементи.

Ако случајно изаберемо н објеката, случајна променљива Кс која представља број објеката који припадају К у том избору има хипергеометријску расподелу параметара Н, н и к. Његова масена функција је:

Следећи график представља масу функције вероватноће за различите вредности параметара хипергеометријске дистрибуције.

Решене вежбе

Прва вежба

Претпоставимо да је вероватноћа да радио цев (стављена у одређену врсту опреме) ради више од 500 сати 0.2. Ако се тестира 20 цеви, колика је вероватноћа да ће тачно к од њих радити више од 500 сати, к = 0, 1,2, ..., 20?

Решење

Ако је Кс број цеви које раде више од 500 сати, претпоставићемо да Кс има биномну расподелу. Онда

И тако:

За к≥11, вероватноће су мање од 0.001

Тако можемо видети како се повећава вероватноћа да ови к раде више од 500 сати, док не достигне своју максималну вредност (са к = 4) и онда почне да се смањује..

Друга вежба

Новчић се баца 6 пута. Када је резултат скуп, рећи ћемо да је то успјех. Која је вероватноћа да два лица изађу тачно?

Решење

За овај случај имамо н = 6 и оба су вероватноћа успеха и неуспеха п = к = 1/2

Дакле, вероватноћа давања два лица (тј. К = 2) је од

Трећа вежба

Која је вероватноћа да се пронађу најмање четири лица?

Решење

За овај случај имамо к = 4, 5 или 6

Трећа вежба

Претпоставимо да је 2% предмета произведених у фабрици неисправно. Пронађите вјероватноћу П да постоје три неисправне ставке у узорку од 100 артикала.

Решење

За овај случај можемо применити биномну расподелу за н = 100 и п = 0.02, добивши као резултат:

Међутим, пошто је п мали, користићемо Поиссонову апроксимацију са λ = нп = 2. Тако,

Референце

1. Каи Лаи Цхунг Елементарна теорија пропусности са стохастичким процесима. Спрингер-Верлаг Нев Иорк Инц
2. Кеннетх.Х. Росен Дискретна математика и њене примене. С.А.МЦГРАВ-ХИЛЛ / ИНТЕРАМЕРИЦАНА ДЕ ЕСПАНА.
3. Паул Л. Меиер. Вероватноћа и статистичке апликације. С.А. МЕКСИЦАН АЛХАМБРА.
4. Сеимоур Липсцхутз Пх.Д. 2000 Проблеми са дискретном математиком. МцГРАВ-ХИЛЛ.
5. Сеимоур Липсцхутз Пх.Д. Теорија и проблеми вероватноће. МцГРАВ-ХИЛЛ.