Алгебарски деривати (са примерима)



Тхе алгебарски деривати они се састоје у проучавању деривата у конкретном случају алгебарских функција. Порекло појма деривата сеже до античке Грчке. Развој овог појма био је мотивисан потребом да се реше два важна проблема, један у физици, а други у математици.

У физици, дериват решава проблем одређивања тренутне брзине покретног објекта. У математици, можете наћи тангентну линију на криву у датој тачки.

Иако постоје заиста много више проблема који се решавају помоћу деривата, као и његове генерализације, резултати који су уследили након увођења његовог концепта.

Пионири диференцијалне рачунице су Невтон и Леибниз. Пре давања формалне дефиниције, развијат ћемо идеју са математичког и физичког гледишта.

Индек

  • 1 Дериват као нагиб тангентне линије на криву
  • 2 Дериват као тренутна брзина покретног објекта
    • 2.1 Алгебарска функција
  • 3 Правила извођења
    • 3.1 Изведено из константе
    • 3.2 Дериват моћи
    • 3.3 Изведено из збрајања и одузимања
    • 3.4 Дериват производа
    • 3.5 Изведено из квоцијента
    • 3.6 Правило ланца
  • 4 Референце

Дериват као нагиб тангентне линије на криву

Претпоставимо да је граф функције и = ф (к) континуирани граф (без врхова или врхова или одвајања), и нека А = (а, ф (а)) буде фиксна тачка на њему. Желимо да нађемо једначину тангентне линије на граф функције ф у тачки А.

Узмите било коју другу тачку П = (к, ф (к)) графикона, близу тачке А, и повуците секациону линију која пролази кроз А и П. Секантна линија је линија која сече графику криве у једној или више бодова.

Да бисмо добили тангенту коју желимо, потребно је само израчунати нагиб јер већ имамо тачку на линији: тачка А.

Ако померимо тачку П дуж графа и приближимо је тачки А, поменута секантна линија ће се приближити тангентној линији коју желимо да пронађемо. Узимајући границу када "П тежи А", обе линије ће се подударати, дакле и њене косине.

Нагиб секантне линије је дат

Рећи да се П приближава А је еквивалентно тврдњи да "к" приступа "а". Дакле, нагиб тангентне линије на граф ф у тачки А, биће једнак:

Горњи израз је означен са ф '(а), и дефинисан је као дериват функције ф у тачки "а". Тада видимо да је аналитички дериват функције у тачки граница, али геометријски, то је нагиб линије тангента на граф функције у тачки.

Сада ћемо видети овај појам са становишта физике. Доћи ћемо до истог израза претходног ограничења, иако на другачији начин, постижући једногласност дефиниције.

Дериват као тренутна брзина покретног објекта

Да видимо кратак пример о томе шта значи брзина. Када се каже, на пример, да аутомобил који стиже на одредиште то учини са брзином од 100 км на сат, што значи да је за један сат прешао 100 км..

То не значи нужно да је током цијелог сата аутомобил увијек био удаљен 100 км, брзиномјер аутомобила могао би у неким тренуцима означити мање или више. Ако је имао потребу да се заустави на семафору, брзина у том тренутку је била 0 км. Међутим, након једног сата, рута је била 100 км.

То је оно што је познато као просјечна брзина и даје се количником пређене удаљености између протеклог времена, као што смо управо видјели. Тренутна брзина, с друге стране, је она која обележава иглу брзиномера аутомобила у одређеном тренутку (времену)..

Погледајмо ово сада уопштеније. Претпоставимо да се објекат креће дуж линије и да је ово померање представљено помоћу једначине с = ф (т), где променљива т мери време и променљиву с померање, узимајући у обзир његов почетак у тренутак т = 0, када је и нула, то јест, ф (0) = 0.

Ова функција ф (т) је позната као функција положаја.

Тражи се израз за тренутну брзину објекта у фиксном тренутку "а". На овој брзини ћемо је означити са В (а).

Нека буде тренутак близу тренутка "а". У временском интервалу између "а" и "т", промена позиције објекта даје ф (т) -ф (а).

Просечна брзина у овом временском интервалу је:

То је апроксимација тренутне брзине В (а). Ова апроксимација ће бити боља када се приближи "а". Зато,

Запазите да је овај израз једнак оном који је постигнут у претходном случају, али из другачије перспективе. То је оно што је познато као деривација функције ф у тачки "а" и означена је ф '(а), као што је горе наведено.

Имајте на уму да прављење промене х = к-а, имамо да када је "к" склон "а", "х" тежи до 0, а претходна граница се трансформише (еквивалентно) у:

Оба израза су еквивалентна, али понекад је боље користити један уместо другог, у зависности од случаја.

Дериват функције ф онда се дефинише уопштеније у било којој тачки "к" која припада њеном домену као

Најчешћа нотација за представљање деривације функције и = ф (к) је она коју смо управо видели (ф 'о и'). Међутим, друга широко коришћена нотација је Леибнизова нотација која је представљена као било који од следећих израза:

С обзиром на чињеницу да је дериват у суштини граница, он може или не мора постојати, јер границе не постоје увијек. Ако постоји, каже се да је дотична функција диференцирана у датој тачки.

Алгебарска функција

Алгебарска функција је комбинација полинома помоћу сума, одузимања, производа, количника, моћи и радикала.

Полином је израз форме

Пн= анкн+ ан-1кн-1+ ан-2кн-2+... + а2к2+ а1к + а0

Где је н природни број и све аи, са и = 0,1, ..., н, су рационални бројеви и ан. 0 У овом случају се каже да је степен овог полинома н.

Следе примери алгебарских функција:

Овде нису укључене експоненцијалне, логаритамске и тригонометријске функције. Правила извођења која ћемо видети у даљем тексту важе за опште функције, али ћемо се ограничити и применити у случају алгебарских функција..

Бипасс рулес

Изведена из константе

Утврђује да је дериват константе нула. То јест, ако је ф (к) = ц, онда је ф '(к) = 0. На пример, дериват константне функције 2 је једнак 0.

Изведен из моћи

Ако је ф (к) = кн, онда ф '(к) = нкн-1. На пример, дериват од к3 3к2. Као последица тога, добијамо да је дериват функције идентитета ф (к) = к ф '(к) = 1к1-1= к0= 1.

Други пример је следећи: бе ф (к) = 1 / к2, онда ф (к) = к-2 и ф '(к) = - 2к-2-1= -2к-3.

Ово својство је такође ваљано коријење, јер корени су рационалне моћи и ви можете применити горе наведено иу том случају. На пример, дериват квадратног корена је дат

Изводи се из суме и одузимања

Ако су ф и г диференциране функције у к, онда је и сума ф + г различита и да је (ф + г) '(к) = ф' (к) + г '(к).

Аналогно, имамо (ф-г) '(к) = ф' (к) -г '(к). Другим речима, дериват сума (одузимање) је сума (или одузимање) деривата.

Пример

Ако је х (к) = к2+к-1, онда

х '(к) = (к2) + (к) '- (1)' = 2к + 1-0 = 2к + 1.

Изведен из производа

Ако су ф и г диференциране функције у к, онда је и производ фг диференцибилан у к и испуњен је

(фг) '(к) = ф' (к) г (к) + ф (к) г '(к).

Као посљедица тога имамо да ако је ц константа, а ф диференцијабилна функција у к, онда је и цф диференцијабилна у к и (цф) '(к) = цф' (Кс).

Пример

Ако је ф (к) = 3к (к2+1), онда

ф '(к) = (3к)' (к2+1) + (3к) (к2+1) '= 3 (к)' (к2+1) + 3к [(к2) '+ (1)']

= 3 (1) (к2+1) + 3к [(2к2-1) +0] = 3 (к2+1) + 3к (2к) = 3к2+3 + 6к2

= 9к2+3.

Изведен из квоцијента

Ако су ф и г диференцирани у к и г (к), 0, онда је ф / г такође диференцибилан у к, и истина је да

Пример: ако х (к) = к3/ (к2-5к), онда

х '(к) = [(к3) '(к5-5к) - (к3) (к5-5к) '] / (к5-5к)2= [(3к2) (к5-5к) - (к3) (5к4-5)] / (к5-5к)2.

Цхаин руле

Ово правило дозвољава извођење састава функција. Утврђује се следеће: ако је и = ф (у) диференцибилан у у, иу = г (к) се диференцира у к, онда је сложена функција ф (г (к)) диференцијабилна у к, и задовољно је да [ф г (к))] '= ф' (г (к)) г '(к).

Односно, дериват композитне функције је производ деривата спољне функције (спољни дериват) дериватом интерне функције (интерни дериват).

Пример

Ако је ф (к) = (к4-2к)3, онда

ф '(к) = 3 (к4-2к)2(к4-2к) '= 3 (к4-2к)2(4к3-2).

Такође постоје резултати за израчунавање деривата инверзне функције, као и генерализације на деривате вишег реда. Апликације су обимне. Међу њима се истичу њихове корисности у проблемима оптимизације и максимума и минимума функција.

Референце

  1. Аларцон, С., Гонзалез, М., & Куинтана, Х. (2008). Дифферентиал Цалцулатион. ИТМ.
  2. Цабрера, В. М. (1997). Израчун 4000. Едиториал Прогресо.
  3. Цастано, Х.Ф. (2005). Математика пре обрачуна. Универзитет у Меделлину.
  4. Едуардо, Н.А. (2003). Увод у прорачун. Издање прага.
  5. Извори, А. (2016). БАСИЦ МАТХЕМАТИЦС. Увод у прорачун. Лулу.цом.
  6. Пурцелл, Е.Ј., Ригдон, С.Е., & Варберг, Д.Е. (2007). Цалцулатион. Пеарсон Едуцатион.
  7. Саенз, Ј. (2005). Дифферентиал Цалцулатион (Друго издање). Баркуисимето: Хипотенусе.
  8. Тхомас, Г. Б., & Веир, М. Д. (2006). Израчунавање: неколико варијабли. Пеарсон Едуцатион.