Узастопни деривати (са решеним вежбама)

Тхе сукцесивни деривати су деривати функције иза другог деривата. Процес израчунавања узастопних деривата је следећи: имамо функцију ф, коју можемо извести и тако добити функцију деривације ф '. Овом деривативу од ф можемо извести поново, добијајући (ф ')'.

Ова нова функција се назива други дериват; сви деривати израчунати од другог су сукцесивни; Ови, који се називају и вишим редоследом, имају велике апликације, као што је давање информација о дијаграму графа функције, други деривативни тест за релативне екстреме и одређивање бесконачних серија..

Индек

• 1 Дефиниција
  • 1.1 Пример 1
  • 1.2 Пример 2
• 2 Брзина и убрзање
  • 2.1 Пример 1
  • 2.2 Пример 2
• 3 Апплицатионс
  • 3.1
  • 3.2 Пример
  • 3.3 Релативни циљеви
  • 3.4 Пример
  • 3.5 Таилорова серија
  • 3.6 Пример
• 4 Референце

Дефиниција

Користећи Леибнизову нотацију, имамо да је дериват функције "и" у односу на "к" ди / дк. Да бисмо изразили други дериват "и" користећи Леибнизову нотацију, пишемо на следећи начин:

Генерално, можемо да изразимо узастопне деривате као што следи са Леибнизовом нотацијом, где н представља редослед деривата.

Остале ознаке су следеће:

Неки примјери гдје можемо видјети различите ознаке су:

Пример 1

Добити све деривате функције ф дефинисане са:

Користећи уобичајене технике деривације, имамо да је дериват ф:

Понављањем процеса можемо добити други дериват, трећи дериват и тако даље.

Приметимо да је четврти дериват нула, а дериват нула је нула, тако да морамо:

Пример 2

Израчунајте четврти дериват следеће функције:

Извођење дате функције коју имамо као резултат:

Брзина и убрзање

Једна од мотивација која је довела до открића деривата била је потрага за дефиницијом тренутне брзине. Формална дефиниција је следећа:

Нека је и = ф (т) функција чији графикон описује путању честице у тренутку т, тада је његова брзина у тренутку т дата:

Када добије брзину честице, можемо израчунати тренутно убрзање, које се дефинише на следећи начин:

Тренутачно убрзање честице чија је стаза дата и = ф (т) је:

Пример 1

Честица се креће по линији према функцији положаја:

Где се "и" мери у метрима и "т" у секундама.

- У ком тренутку ваша брзина је 0?

- У којем тренутку ваше убрзање је 0?

Када добијамо функцију позиције "и" имамо да је њена брзина и убрзање дати:

Да би се одговорило на прво питање, довољно је одредити када функција в постане нула; ово је:

Настављамо са следећим питањем аналогно:

Пример 2

Честица се креће по линији према следећој једначини кретања:

Одредите "т, и" и "в" када је а = 0.

Знајући да је брзина и убрзање дато

Настављамо да изводимо и добијамо:

Чинећи а = 0, имамо:

Из тога можемо закључити да је вредност т за а једнака нули т = 1.

Затим, процјењујући функцију положаја и функцију брзине при т = 1, морамо:

Апплицатионс

Мплифиед дериватион

Узастопни деривати се такође могу добити имплицитним деривацијама.

Пример

С обзиром на следећу елипсу, пронађите "и":

Изводи имплицитно у односу на к, имамо:

Онда, прешавши имплицитно у односу на к, он нам даје:

Коначно, имамо:

Релативни завршава

Друга употреба коју можемо дати дериватима другог реда је у израчунавању релативних крајева функције.

Критеријум првог деривата за локалне екстреме говори нам да, ако имамо функцију ф континуирану у опсегу (а, б) и да постоји ц који припада том интервалу, такав да је ф 'поништен у ц (то јест, ц) је критична тачка), један од ова три случаја може да се деси:

- Ако је ф '(к)> 0 за било који к који припада (а, ц) и ф' (к)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- Ако је ф '(к) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 за к који припадају (ц, б), онда је ф (ц) локални минимум.

- Ако ф '(к) има исти знак у (а, ц) иу (ц, б), то значи да ф (ц) није локална крајња тачка.

Користећи критеријум другог деривата можемо знати да ли је критични број функције максимални или локални минимум, без потребе да се види који је знак функције у наведеним интервалима.

Критеријум другог извођења говори нам да ако је ф '(ц) = 0 и да је ф "(к) континуирано у (а, б), дешава се да ако је ф" (ц)> 0 онда је ф (ц) а локални минимум и ако ф "(ц) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Ако је ф (ц) = 0, ништа не можемо закључити.

Пример

С обзиром на функцију ф (к) = к⁴ + (4/3) к³ - 4к², пронаћи релативне максимуме и минимуме ф примјењујући критериј другог деривата.

Прво израчунамо ф '(к) и ф "(к) и имамо:

ф '(к) = 4к³ + 4к² - 8к

ф "(к) = 12к² + 8к - 8

Сада, ф '(к) = 0 ако и само ако је 4к (к + 2) (к - 1) = 0, а то се дешава када је к = 0, к = 1 или к = - 2.

Да би се утврдило да ли су добијени критични бројеви релативни екстреми довољно је процијенити у ф 'и тако проматрати његов знак.

ф "(0) = - 8, тако да је ф (0) локални максимум.

ф "(1) = 12, тако да је ф (1) локални минимум.

ф "(- 2) = 24, тако да је ф (- 2) локални минимум.

Таилор сериес

Нека ф је функција дефинисана на следећи начин:

Ова функција има радијус конвергенције Р> 0 и има деривате свих налога у (-Р, Р). Узастопни деривати ф дају нам:

Узимајући к = 0, можемо добити вриједности ц_н на основу њених деривата како следи:

Ако узмемо н = 0 као функцију ф (то јест, ф ^ 0 = ф), онда можемо поново написати функцију на следећи начин:

Сада размотримо функцију као низ моћи у к = а:

Ако изведемо аналогну анализу на претходну, потребно је да напишемо функцију ф као:

Ове серије су познате као Таилоров низ ф у а. Када је а = 0 имамо посебан случај који се назива Мацлаурин серија. Овај тип серија је од великог математичког значаја посебно у нумеричкој анализи, јер захваљујући њима можемо дефинисати функције у рачунарима као што су^к , син (к) и цос (к).

Пример

Гет Мацлаурин серија за е^к.

Приметимо да ако је ф (к) = е^к, затим ф^(н)(к) = е^к и ф^(н)(0) = 1, због чега је његова Мацлаурин серија:

Референце

1. Франк Аирес, Ј., & Менделсон, Е. (с.ф.). 5ед цалцулатион. Мц Грав Хилл.
2. Леитхолд, Л.. ИЗРАЧУН са аналитичком геометријом. ХАРЛА, С.А.
3. Пурцелл, Е.Ј., Варберг, Д., & Ригдон, С.Е. (2007). Цалцулатион. Мексико: Пеарсон Едуцатион.
4. Саенз, Ј. (2005). Дифферентиал Цалцулатион. Хипотенусе.
5. Саенз, Ј. (с.ф.). Свеобухватни рачун. Хипотенусе.