Објашњење Баиес-ове теореме, апликације, вјежбе



Тхе Баиесова теорема је процедура која нам омогућава да изразимо условну вероватноћу случајног догађаја А датог Б, у смислу дистрибуције вероватноће догађаја Б датог А и расподеле вероватноће само А.

Ова теорема је веома корисна, јер захваљујући њој можемо повезати вероватноћу да се догоди догађај А знајући да је дошло до Б, са вероватноћом да се деси супротно, тј..

Бајесова теорема била је сребрна тврдња велечасног Томаса Беја, енглеског теолога из осамнаестог века, који је такође био математичар. Био је аутор неколико радова у теологији, али је тренутно познат по неколико математичких расправа, међу којима се поменути Баиесов теорем истиче као главни резултат..

Баиес се бавио овом теоремом у раду под насловом "Есеј ка рјешавању проблема у доктрини шанси", објављеном 1763. године, и на којем су развијени велики радови за рјешавање проблема у доктрини могућности. Студије са апликацијама у различитим областима знања.

Индек

  • 1 Објашњење
  • 2 Примена Баиес-ове теореме
    • 2.1 Решене вежбе
  • 3 Референце

Објашњење

Прво, за даље разумевање ове теореме, неопходни су неки основни појмови теорије вероватноће, посебно теорема мултипликације за условну вероватноћу, која каже да

За Е и А произвољни догађаји узоркованог простора С.

И дефиниција партиција, која нам говори да ако имамо А1 ,А2,..., Ан догађаји узоркованог простора С, они ће формирати партицију С, ако је Аи они се међусобно искључују и њихова унија је С.

Имајући ово, нека је Б још један догађај. Онда можемо видети Б као

Где је Аи испреплетени са Б су међусобно искључиви догађаји.

И последично,

Затим, применом теореме множења

С друге стране, условна вероватноћа Аи датог Б је дефинисана

Замена адекватно морамо за било које и

Апплицатионс оф Баиесова теорема

Захваљујући овом резултату, истраживачке групе и различите корпорације успеле су да унапреде системе који се заснивају на знању.

На пример, у проучавању болести, Бајесова теорема може помоћи да се уочи вероватноћа да ће се болест наћи у групи људи са датом карактеристиком, узимајући као податке глобалне стопе болести и доминацију наведених карактеристика у и здрави и болесни.

С друге стране, у свету високих технологија, утицао је на велике компаније које су захваљујући овом резултату развиле софтвер "Басед он Кновледге"..

Као свакодневни пример имамо Мицрософт Оффице помоћника. Баиесова теорема помаже софтверу да процени проблеме које корисник представља и да одреди који савет треба да пружи и на тај начин буде у могућности да понуди бољу услугу у складу са навикама корисника..

Треба напоменути да је ова формула била игнорисана све до недавно, углавном због чињенице да када је овај резултат развијен пре 200 година, за њих је било мало практичне употребе. Међутим, у наше време, захваљујући великом технолошком напретку, научници су постигли начине да овај резултат уведу у праксу.

Решене вежбе

Вежба 1

Компанија за мобилне телефоне има две машине А и Б. 54% произведених мобилних телефона је направљено машином А, а остатак машином Б. Нису сви произведени мобилни телефони у добром стању..

Однос неисправних мобилних телефона направљених са А је 0,2, а Б је 0,5. Која је вероватноћа да је мобилни телефон поменуте фабрике неисправан? Која је вероватноћа да, знајући да је мобилни телефон неисправан, долази из машине А?

Решење

Ево, имате експеримент који се ради у два дела; у првом делу се дешавају догађаји:

А: мобилни телефон направљен машином А.

Б: мобилни телефон направљен машином Б.

Пошто машина А производи 54% мобилних телефона, а остатак се производи машином Б, машина Б производи 46% мобилних телефона. Вероватноће ових догађаја су дате, наиме:

П (А) = 0,54.

П (Б) = 0,46.

Догађаји другог дела експеримента су:

Д: неисправна ћелија.

Е: недефинисана ћелија.

Као што је речено у изјави, вероватноће ових догађаја зависе од резултата добијеног у првом делу:

П (Д | А) = 0,2.

П (Д | Б) = 0,5.

Користећи ове вредности, такође можете да одредите вероватноћу надопуњавања ових догађаја, то јест:

П (Е | А) = 1 - П (Д | А)

= 1 - 0.2

= 0.8

и

п (Е | Б) = 1 - П (Д | Б)

= 1 - 0.5

= 0.5.

Сада се догађај Д може написати на следећи начин:

Користећи теорему множења за условну вероватноћу, она резултира:

На који је одговорено прво питање.

Сада само требамо израчунати П (А | Д), за који се примјењује Баиесова теорема:

Захваљујући Баиесовој теореми, може се рећи да је вероватноћа да је мобилни телефон направљен машином А, знајући да је мобилни телефон неисправан, 0.319.

Вежба 2

Три кутије садрже бијеле и црне кугле. Састав сваког од њих је следећи: У1 = 3Б, 1Н, У2 = 2Б, 2Н, У3 = 1Б, 3Н.

Једна од кутија се бира насумце и из ње се извлачи случајна лопта, која се испостави да је бела. Која је кутија која је највјероватније одабрана?

Решење

Кроз У1, У2 и У3, представићемо и изабрану кутију.

Ови догађаји сачињавају партицију С и потврђује се да је П (У1) = П (У2) = П (У3) = 1/3, јер је избор кутије случајан.

Ако је Б = извађена кугла бела, има емо П (Б | У1) = 3/4, П (Б | У2) = 2/4, П (Б | У3) = 1/4 .

Оно што желимо да добијемо је вероватноћа да је лопта извађена из кутије Уи знајући да је лопта бела, то јест, П (Уи | Б), и да види која је од три вредности највиша да би знала која је кутија је највјероватније била вађење бијеле кугле.

Примена Баиесове теореме на прву од поља:

А за друга два:

П (У2 | Б) = 2/6 и П (У3 | Б) = 1/6.

Затим, прва од кутија је она која има већу вероватноћу да је изабрана за вађење бијеле кугле.

Референце

  1. Каи Лаи Цхунг Елементарна теорија пропусности са стохастичким процесима. Спрингер-Верлаг Нев Иорк Инц
  2. Кеннетх.Х. Росен Дискретна математика и њене примене. С.А.МЦГРАВ-ХИЛЛ / ИНТЕРАМЕРИЦАНА ДЕ ЕСПАНА.
  3. Паул Л. Меиер. Вероватноћа и статистичке апликације. С.А. МЕКСИЦАН АЛХАМБРА.
  4. Сеимоур Липсцхутз Пх.Д. 2000 Проблеми са дискретном математиком. МцГРАВ-ХИЛЛ.
  5. Сеимоур Липсцхутз Пх.Д. Теорија и проблеми вероватноће. МцГРАВ-ХИЛЛ.