Трансформисана Лаплацеова дефиниција, историја, за шта је, својства



Тхе трансформисан из Лапласа је посљедњих година од великог значаја у студијама инжењерства, математике, физике, између осталих научних области, као и од великог интереса за теоријски, пружа једноставан начин за рјешавање проблема који долазе из науке и инжењерства.

Првобитно Лапласову трансформацију представио је Пиерре-Симон Лаплаце у својој студији о теорији вероватноће и првобитно се третирао као математички објект само теоретског интереса.

Садашње примене настају када различити математичари покушају да дају формално оправдање "оперативним правилима" које користи Хеависиде у проучавању једначина електромагнетне теорије..

Индек

  • 1 Дефиниција
    • 1.1 Примери
    • 1.2 Теорем (Довољни услови за постојање)
    • 1.3 Лапласова трансформација неких основних функција
  • 2 Хистори
    • 2.182 1782, Лаплас
    • 2.2 Оливер Хеависиде
  • 3 Својства
    • 3.1 Линеарност
    • 3.2 Теорема о првом преводу
    • 3.3 Теорема о другом преводу
    • 3.4 Промена скале
    • 3.5 Трансформација Лапласа деривата
    • 3.6 Лапласова трансформација интеграла
    • 3.7 Мултиплицатион би тн
    • 3.8 Подјела по т
    • 3.9 Периодичне функције
    • 3.10 Понашање Ф (с) када је склоност ка бесконачности
  • 4 Инверзне трансформације
    • 4.1 Вежба
  • 5 Апликације Лапласове трансформације
    • 5.1 Диференцијалне једначине
    • 5.2 Системи диференцијалних једначина
    • 5.3 Механика и електрична кола
  • 6 Референце

Дефиниција

Нека је ф функција дефинисана за т ≥ 0. Лапласова трансформација је дефинисана на следећи начин:

Речено је да Лаплацеова трансформација постоји ако претходни интеграл конвергира, у супротном се каже да Лаплацеова трансформација не постоји.

Уопштено, за означавање функције коју желите да трансформишете, користе се мала слова и велико слово одговара његовој трансформацији. На овај начин ћемо имати:

Примери

Размотримо константну функцију ф (т) = 1. Имамо да је њена трансформација:

Кад год интеграл конвергира, то је увијек под увјетом да с> 0. Иначе, с < 0, la integral diverge.

Нека је г (т) = т. Ваша Лапласова трансформација је дата

Интеграцијом по деловима и знајући да сте ви-ст има тенденцију да 0 када т тежи ка бесконачности и с> 0, заједно са претходним примером имамо:

Трансформација може или не мора да постоји, на пример за функцију ф (т) = 1 / т интеграл који дефинише његову Лаплацеову трансформацију не конвергира и стога њена трансформација не постоји.

Довољни услови да се осигура да Лаплацеова трансформација функције ф постоји, да је ф континуиран у деловима за т ≥ 0 и да је експоненцијалног реда.

Речено је да је једна функција континуирана у деловима за т ≥ 0, када је за било који интервал [а, б] са а> 0, коначан број тачака тк, где ф има дисконтинуитете и континуирано је у сваком подинтервалу [тк-1,тк].

С друге стране, речено је да је функција експоненцијалног реда ц ако постоје реалне константе М> 0, ц и Т> 0 тако да:

Као примери имамо ф (т) = т2 је експоненцијалног реда, јер | т2| < e3т за све т> 0.

На формалан начин имамо следећу теорему

Теорема (Довољни услови за постојање)

Ако је ф континуирана функција по делу за т> 0 и експоненцијалног реда ц, онда постоји Лапласова трансформација за с> ц.

Важно је нагласити да је ово услов довољности, то јест, може бити случај да постоји функција која не испуњава ове услове, па чак и тада постоји њена Лапласова трансформација..

Пример за то је функција ф (т) = т-1/2 који није континуиран у деловима за т ≥ 0, али његова Лаплацеова трансформација постоји.

Лапласова трансформација неких основних функција

Следећа табела приказује Лапласове трансформације најчешћих функција.

Хистори

Лапласова трансформација дугује своје име Пиерре-Симон Лаплацеу, математичару и француском теоретском астроному који је рођен 1749. и умро 1827. Његова слава је била таква да је био познат као Невтон оф Франце..

Године 1744. Леонард Еулер је посветио своје студије интегралима са обликом

као решења обичних диференцијалних једначина, али су брзо напустили ову истрагу. Касније, Јосепх Лоуис Лагранге, који се веома дивио Еулеру, такође је истраживао ову врсту интеграла и повезао их са теоријом вероватноће.

1782, Лаплас

Године 1782. Лаплас је почео да проучава ове интеграле као решења за диференцијалне једначине и према историчарима, 1785. године одлучио је да преформулише проблем, који је касније родио Лапласове трансформације онако како се данас разумеју..

Пошто је уведен у област теорије вероватноће, био је од малог интереса за научнике тог времена и био је виђен само као математички објекат само теоретског интереса..

Оливер Хеависиде

Средином деветнаестог века, када је енглески инжењер Оливер Хеависиде открио да се диференцијални оператори могу третирати као алгебарске варијабле, дајући тако своју модерну апликацију Лапласовим трансформацијама..

Оливер Хеависиде је био енглески физичар, инжењер електротехнике и математичар који је рођен 1850. у Лондону и умро 1925. године. Док је покушавао ријешити проблеме диференцијалних једнаџби примијењених на теорију вибрација и користећи Лапласове студије, почео је обликовати модерне примене Лапласових трансформација.

Резултати које је приказао Хеависиде брзо су се проширили кроз научну заједницу тог времена, али како његов рад није био строг, брзо су га критиковали традиционалнији математичари.

Међутим, корисност Хеависидеовог рада у рјешавању једнаџби физике учинила је његове методе популарним код физичара и инжењера.

Упркос овим застојима и након неколико деценија неуспелих покушаја, почетком 20. века могло би се дати ригорозно оправдање за оперативна правила која је дао Хеависиде..

Ови покушаји су се исплатили захваљујући напорима разних математичара као што су Бромвицх, Царсон, ван дер Пол, између осталих..

Пропертиес

Међу својствима Лапласове трансформације издвајају се:

Линеарност

Нека су ц1 и ц2 константе, а ф (т) и г (т) функције чије Лапласове трансформације су Ф (с) и Г (с) респективно, онда морамо:

Због ове особине се каже да је Лапласова трансформација линеарни оператор.

Пример

Теорема о првом преводу

Ако се догоди:

А 'а' је било који стварни број, а затим:

Пример

Као Лапласова трансформација цос (2т) = с / (с ^ 2 + 4) онда:

Друга теорема о преводу

Да

Онда

Пример

Ако је ф (т) = т ^ 3, тада Ф (с) = 6 / с ^ 4. И стога, трансформација

је Г (с) = 6е-2с/ с ^ 4

Промена скале

Да

А 'а' је не-нула стварна, морамо

Пример

Пошто је трансформација ф (т) = син (т) Ф (с) = 1 / (с ^ 2 + 1) мора бити

трансформација Лапласа деривата

Ако је ф, ф ', ф ", ..., ф(н) су континуирани за т ≥ 0 и имају експоненцијални ред и ф(н)(т) је континуирано у деловима за т ≥ 0, затим

Лапласова трансформација интеграла

Да

Онда

Мултиплицатион би тн

Ако морамо

Онда

Дивисион би т

Ако морамо

Онда

Периодичне функције

Нека је ф периодичка функција са периодом Т> 0, то јест, ф (т + Т) = ф (т), онда

Понашање Ф (с) када с тежи ка бесконачности

Ако је ф континуиран у деловима и експоненцијалном реду и

Онда

Инверсе трансформатионс

Када применимо Лапласову трансформацију на функцију ф (т) добијемо Ф (с), која представља ту трансформацију. На исти начин можемо рећи да је ф (т) инверзна Лапласова трансформација Ф (с) и написана је као

Знамо да су Лапласове трансформације ф (т) = 1 и г (т) = т Ф (с) = 1 / с и Г (с) = 1 / с2 стога морамо

Неке уобичајене инверзне Лапласове трансформације су следеће

Поред тога, инверзна Лаплацеова трансформација је линеарна, тј

Вежба

Финд

Да бисмо решили ову вежбу морамо да ускладимо функцију Ф (с) са једном од претходне табеле. У овом случају, ако узмемо н + 1 = 5 и користимо својство линеарности инверзне трансформације, множимо и делимо на 4! Геттинг

За другу инверзну трансформацију примењујемо парцијалне фракције да препишемо функцију Ф (с) и затим својство линеарности, добивши

Као што можемо видјети из ових примјера, уобичајено је да се функција Ф (с) која се оцјењује не слаже точно с било којом од функција наведених у таблици. За ове случајеве, како се то уочава, довољно је преписати функцију док не дође до одговарајућег облика.

Апликације Лапласове трансформације

Дифферентиал екуатионс

Главна примена Лаплацеових трансформација је решавање диференцијалних једначина.

Употребом својства трансформације деривата јасно је да

И од н-1 деривата процењених на т = 0.

Ово својство чини трансформацију врло корисном за рјешавање проблема почетне вриједности гдје су укључене диференцијалне једнаџбе с константним коефицијентима.

Следећи примери показују како се Лапласова трансформација користи за решавање диференцијалних једначина.

Пример 1

С обзиром на следећи проблем почетне вредности

Користите Лапласову трансформацију да пронађете решење.

Ми примењујемо Лапласову трансформацију на сваког члана диференцијалне једначине

За својство трансформације деривата имамо

Развијањем свих израза и чишћења, остаје нам

Користећи парцијалне фракције да препишемо десну страну једначине коју добијемо

Коначно, наш циљ је пронаћи функцију и (т) која задовољава диференцијалну једнаџбу. Коришћење инверзне Лаплацеове трансформације даје нам резултат

Пример 2

Солве

Као иу претходном случају, трансформацију примењујемо на обе стране једначине и раздвајамо по појам.

На овај начин имамо као резултат

Замена са датим почетним вредностима и чишћење И (с)

Помоћу једноставних фракција можемо преписати једнаџбу на следећи начин

И примена инверзне трансформације Лапласа нам даје као резултат

У овим примерима се може доћи до погрешног закључка да овај метод није много бољи од традиционалних метода за решавање диференцијалних једначина.

Предности које нуди Лапласова трансформација су да није потребно користити варијације параметара или бринути о различитим случајевима методе неодређеног коефицијента..

Поред решавања проблема почетне вредности овом методом, од самог почетка користимо почетне услове, тако да није потребно извести друге прорачуне да би се пронашло конкретно решење..

Системи диференцијалних једначина

Лапласова трансформација се такође може користити за проналажење решења за симултане обичне диференцијалне једначине, као што показује следећи пример.

Пример

Солве

Уз почетне услове к (0) = 8 е и (0) = 3.

Ако морамо

Онда

Рјешавање резултата у нама

А када применимо Лапласову инверзну трансформацију имамо

Механика и електрична кола

Лапласова трансформација је од велике важности у физици, углавном има апликације за механичка и електрична кола.

Једноставан електрични круг се састоји од следећих елемената

Прекидач, батерија или извор, индуктор, отпорник и кондензатор. Када је прекидач затворен, производи се електрична струја која је означена са и (т). Кондензатор је означен са к (т).

Кирцххоффовим другим законом напон произведен од стране извора Е до затвореног круга мора бити једнак суми сваког од напона.

Електрична струја и (т) је повезана са задужењем к (т) у кондензатору и = дк / дт. С друге стране, пад напона је дефинисан у сваком од елемената на следећи начин:

Пад напона у отпорнику је иР = Р (дк / дт)

Пад напона у индуктору је Л (ди / дт) = Л (д2к / дт2)

Пад напона у кондензатору је к / Ц

Са овим подацима и применом другог Кирцххоффовог закона на затворени једноставни круг, добија се диференцијална једначина другог реда која описује систем и омогућава нам да одредимо вредност к (т).

Пример

Индуктор, кондензатор и отпорник су повезани на батерију Е, као што је приказано на слици. Индуктор је од 2 хенрија, кондензатор од 0.02 фарадс и отпор од 16 онхм. У тренутку т = 0 коло је затворено. Нађите оптерећење и струју у било ком тренутку т> 0 ако је Е = 300 волти.

Ми имамо да је диференцијална једначина која описује овај круг следећи

Где су почетни услови к (0) = 0, и (0) = 0 = к '(0).

Примјењујући Лапласову трансформацију, добићемо то

И чишћење К (т)

Онда, примењујући обрнуту Лапласову трансформацију имамо

Референце

  1. Г. Холброок, Ј. (1987). Лапласова трансформација за инжењере електронике. Лиме.
  2. Руиз, Л. М., & Хернандез, М. П. (2006). Диференцијалне једначине и Лапласова трансформација са апликацијама. Едиториал УПВ.
  3. Симмонс, Г.Ф.. Диференцијалне једначине са апликацијама и историјским напоменама. МцГрав-Хилл.
  4. Спиегел, М. Р.. Лаплаце Трансформс. МцГрав-Хилл.
  5. Зилл, Д.Г., & Цуллен, М.Р. (2008). Диференцијалне једначине са проблемима вредности на граници. Ценгаге Леарнинг Едиторес, С.А..