Својства једнакости



Тхе својства једнакости они се односе на однос између два математичка објекта, било бројева или варијабли. Означава се симболом "=", који увек улази између ова два објекта. Овај израз се користи за утврђивање да два математичка објекта представљају исти објекат; другом речју, да су два објекта иста ствар.

Постоје случајеви у којима је равноправно користити једнакост. На пример, јасно је да је 2 = 2. Међутим, када је ријеч о варијаблама, више није тривијална и има специфичне намјене. На пример, ако имате и = к и са друге стране к = 7, можете закључити да је и = 7 такође.

Претходни пример је заснован на једној од особина једнакости, као што ће се ускоро видети. Ова својства су од суштинског значаја за решавање једначина (једнакости које укључују варијабле), које чине веома важну улогу у математици.

Индек

  • 1 Која су својства једнакости?
    • 1.1 Рефлектирајућа имовина
    • 1.2 Симетрично својство
    • 1.3. Прелазна имовина
    • 1.4 Јединствена имовина
    • 1.5 Отказивање имовине
    • 1.6 Замена имовине
    • 1.7 Имовина моћи у једнакости
    • 1.8 Својство корена у једнакости
  • 2 Референце

Које су особине једнакости?

Рефлективна имовина

Рефлективна својина, у случају једнакости, наводи да је сваки број једнак самом себи и изражен је као б = б за било који реални број б.

У конкретном случају једнакости ово својство изгледа очигледно, али у другој врсти односа бројева није. Другим речима, није сваки однос реалних бројева испунио ову особину. На примјер, такав случај "мање од" односа (<); ningún número es menor que sí mismo.

Симметриц проперти

Симетрично својство за једнакост каже да ако је а = б, онда је б = а. Без обзира на то који се редослијед користи у варијаблама, то ће бити сачувано односом равноправности.

Одређена аналогија ове имовине може се посматрати са комутативном својином у случају додавања. На пример, због ове особине је еквивалентно писању и = 4 или 4 = и.

Транситиве проперти

Транситивно својство у једнакости каже да ако је а = б и б = ц, онда је а = ц. На пример, 2 + 7 = 9 и 9 = 6 + 3; дакле, по транзитивном својству имамо 2 + 7 = 6 + 3.

Једноставна апликација је сљедећа: претпоставимо да је Јулиан стар 14 година и да је Марио исте доби као Роса. Ако је Роса истих година као Јулиан, колико је стар Марио??

Иза овог сценарија, транзитивно својство се користи два пута. Математички се интерпретира овако: бити "а" доба Марија, "б" доба Розе и "ц" доба Јулијана. Познато је да је б = ц и да је ц = 14.

За транзитивно својство имамо б = 14; Роса има 14 година. Пошто је а = б и б = 14, поново користимо транзитивно својство а = 14; то јест, да је Мариово доба такође 14 година.

Униформ проперти

Јединствено својство је да, ако се обе стране једнакости додају или помноже са истом количином, очува се једнакост. На пример, ако је 2 = 2, онда је 2 + 3 = 2 + 3, што је јасно, онда 5 = 5. Ово својство има више корисности када је у питању решавање једначине.

На примјер, претпоставимо да се од вас тражи да ријешите једнаџбу к-2 = 1. Погодно је запамтити да се решавање једначине састоји од експлицитног одређивања варијабле (или варијабли) укључених, на основу одређеног броја или претходно специфициране варијабле..

Враћајући се на једнаџбу к-2 = 1, оно што се мора урадити је да се експлицитно пронађе колико вриједи к. Да бисте то урадили, променљива се мора обрисати.

Погрешно је научено да у овом случају, пошто је број 2 негативан, он прелази на другу страну једнакости са позитивним предзнаком. Али није тачно рећи тако.

У суштини, оно што се ради је примјена јединствене имовине, као што ћемо видјети у наставку. Идеја је да се очисти "к"; то јест, оставите га на једној страни једначине. По договору се обично оставља на левој страни.

У ту сврху, број који желите "елиминирати" је -2. Начин да се то уради је додавање 2, јер је -2 + 2 = 0 и к + 0 = 0. Да би се то могло урадити без промене једнакости, иста операција се мора применити на другој страни.

То омогућава да се остварује једнообразно својство: као к-2 = 1, ако се број 2 дода на обје стране једнакости, јединствена имовина каже да се исто не мијења. Тада имамо да је к-2 + 2 = 1 + 2, што је еквивалентно тврдњи да је к = 3. Овим би се решила једначина.

Слично томе, ако желите да решите једначину (1/5) и-1 = 9, можете да наставите да користите униформно својство на следећи начин:

Уопштено говорећи, могу се дати следеће изјаве:

- Ако је а-б = ц-б, онда је а = ц.

- Ако је к-б = и, онда је к = и + б.

- Ако (1 / а) з = б, з = а ×

- Ако (1 / ц) а = (1 / ц) б, а = б.

Отказивање имовине

Отказивање имовине је посебан случај уједначеног власништва, посебно узевши у обзир одузимање и поделу (које, на крају, одговарају и збрајању и множењу). Ово својство третира овај случај одвојено.

На пример, ако је 7 + 2 = 9, онда је 7 = 9-2. Или ако је 2и = 6, онда је и = 3 (подела на две на обе стране).

Аналогно претходном случају, преко својства поништавања могу се утврдити следеће изјаве:

- Ако је а + б = ц + б, онда је а = ц.

- Ако је к + б = и, онда је к = и-б.

- Ако је аз = б, онда је з = б / а.

- Ако је ца = цб, онда је а = б.

Замјенска имовина

Ако знамо вредност математичког објекта, својство супституције каже да се ова вредност може заменити било којом једначином или изразом. На пример, ако је б = 5 и а = бк, онда замењујући вредност "б" у другој једнакости, имамо а = 5к.

Други пример је следећи: ако "м" дели "н" и такође "н" дели "м", онда мора бити да је м = н.

У ствари, рећи да "м" дели "н" (или еквивалентно, да је "м" делилац "н") значи да је подела м ис н тачна; то јест, дијељењем "м" са "н" добијате цијели број, а не децимални број. Ово се може изразити тако што се каже да постоји цијели број "к" такав да је м = к × н.

Пошто "н" такође дели "м", онда постоји цели број "п" такав да је н = п × м. За својство супституције имамо да је н = п × к × н, а да би се то догодило постоје две могућности: н = 0, у ком случају бисмо имали идентитет 0 = 0; или п × к = 1, где идентитет мора бити н = н.

Претпоставимо да "н" није нула. Тада нужно п × к = 1; дакле, п = 1 и к = 1. Користећи поново својство супституције, при замени к = 1 једнакости м = к × н (или еквивалентно, п = 1 у н = п × м) коначно се добија да је м = н, што је оно што се жељело показати..

Власништво над моћи у једнакости

Као што је раније било уочено, ако се операција обавља као сума, множење, одузимање или дељење у оба термина једнакости, она је сачувана, на исти начин на који се могу применити и друге операције које не мењају једнакост..

Кључно је увек то учинити на обје стране једнакости и унапријед се увјерити да се операција може обавити. Такав је случај оснаживања; то јест, ако се обје стране једнаџбе подигну на исту моћ, још увијек постоји једнакост.

На пример, као 3 = 3, онда 32= 32 (9 = 9). Уопштено, дати цео број "н", ако је к = и, онда кн= ин.

Својство корена у једнакости

Ово је посебан случај потенцирања и примењује се када је снага не-целобројни рационални број, као што је ½, који представља квадратни корен. Ово својство каже да ако се исти корен примјењује на обје стране једнакости (гдје год је то могуће), једнакост је сачувана.

За разлику од претходног случаја, овде морате бити пажљиви са паритетом корена који ће бити примењен, јер је добро познато да чак и корен негативног броја није добро дефинисан..

У случају да је радикал раван, нема проблема. На пример, ако је к3= -8, иако је једнакост, не можете применити квадратни корен са обе стране, на пример. Међутим, ако можете применити кубни корен (што је још згодније ако желите експлицитно да знате вредност к), добијате да је к = -2.

Референце

  1. Аилвин, Ц. У. (2011). Логика, сетови и бројеви. Мерида - Венецуела: Савет публикација, Универсидад де Лос Андес.
  2. Јименез, Ј., Рофригуез, М., & Естрада, Р. (2005). Математика 1 СЕП. Праг.
  3. Лира, М. Л. (1994). Симон анд Матхематицс: Математички текст за другу основну годину: студентска књига. Андрес Белло.
  4. Прециадо, Ц. Т. (2005). Курс за математику 3о. Едиториал Прогресо.
  5. Сеговиа, Б.Р. (2012). Математичке активности и игре са Мигуелом и Луцијом. Балдомеро Рубио Сеговиа.
  6. Торал, Ц., & Прециадо, М. (1985). Други курс математике. Едиториал Прогресо.