Својства производа, апликације и решене вежбе



Тхе Вектор производа или производа То је начин да се множе два или више вектора. Постоје три начина за умножавање вектора, али ниједно од њих није умножавање у уобичајеном смислу речи. Један од ових облика је познат као векторски производ, који резултира трећим вектором.

Векторски производ, који се такође назива крижни производ или спољни производ, има различита алгебарска и геометријска својства. Ова својства су веома корисна, посебно у проучавању физике.

Индек

  • 1 Дефиниција
  • 2 Својства
    • 2.1 Имовина 1
    • 2.2 Имовина 2
    • 2.3 Имовина 3
    • 2.4 Имовина 4 (троструки скаларни производ)
    • 2.5 Имовина 5 (троструки векторски производ)
    • 2.6 Имовина 6
    • 2.7 Имовина 7
    • 2.8 Имовина 8
  • 3 Апплицатионс
    • 3.1 Обрачун волумена паралелепипеда
  • 4 Вежбе решене
    • 4.1 Вежба 1
    • 4.2 Вежба 2
  • 5 Референце

Дефиниција

Формална дефиниција векторског производа је следећа: ако су А = (а1, а2, а3) и Б = (б1, б2, б3) вектори, онда је векторски производ А и Б, који ћемо означити као АкБ, следећи:

АкБ = (а2б3 - а3б2, а3б1 - а1б3, а1б2 - а2б1)

Због ознаке АкБ, она се чита као "Цросс Б".

Примјер како користити вањски производ је да ако су А = (1, 2, 3) и Б = (3, -2, 4) вектори, онда употребом дефиниције векторског производа имамо:

АкБ = (1, 2, 3) к (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

АкБ = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Други начин да се изрази векторски производ дат је нотацијом детерминанти.

Израчунавање детерминанте другог реда даје:

Дакле, формула векторског производа дата у дефиницији може се поново написати на следећи начин:

Ово је обично поједностављено у детерминанти трећег реда како следи:

Где и, ј, к представљају векторе који чине основу Р3.

Користећи овај начин изражавања унакрсног производа, имамо да се претходни пример може преписати као:

Пропертиес

Неке особине које векторски производ поседује су следеће:

Проперти 1

Ако је А било који вектор у Р3, Морамо:

- АкА = 0

- Ак0 = 0

- 0кА = 0

Ова својства се лако проверавају користећи само дефиницију. Ако је А = (а1, а2, а3), морамо:

АкА = (а2а3 - а3а2, а3а1 - а1а3, а1а2 - а2а1) = (0, 0, 0) = 0.

Ак0 = (а2 * 0 - а3 * 0, а3 * 0 - а1 * 0, а1 * 0 - а2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Ако и, ј, к представљају јединичну основу Р3, Можемо их написати на следећи начин:

и = (1, 0, 0)

ј = (0, 1, 0)

к = (0, 0, 1)

Затим морамо да испунимо следећа својства:

Као мнемоничко правило, да би запамтили ова својства обично се користи следећи круг:

Тамо треба напоменути да било који вектор са самим собом доводи до вектора 0, а остатак производа се може добити следећим правилом:

Пречник продукта два узастопна вектора у смеру казаљке на сату даје следећи вектор; и када се разматра правац супротно од казаљке на сату, резултат је следећи вектор са негативним предзнаком.

Захваљујући овим својствима можемо видети да векторски производ није комутативан; на пример, довољно је приметити да је и к ј к ј к и. Следеће својство нам говори како се АкБ и БкА односе уопште.

Проперти 2

Ако су А и Б Р вектори3, Морамо:

АкБ = - (БкА).

Демонстрација

Ако је А = (а1, а2, а3) и Б = (б1, б2, б3), по дефиницији спољног производа имамо:

АкБ = (а2б3 - а3б2, а3б1 - а1б3, а1б2 - а2б1)

= (- 1) (а3б2 - а2б3, а1б3 - а3б1, а2б1 - а1б2)

= (- 1) (БкА).

Можемо такође приметити да овај производ није асоцијативан са следећим примером:

ик (икј) = икк = - ј али (ики) кј = 0кј = 0

Из овога можемо приметити да:

ик (икј) = (ики) кј

Проперти 3

Ако су А, Б, Ц вектори Р3 и р је прави број, следеће је тачно:

- Ак (Б + Ц) = АкБ + АкЦ

- р (АкБ) = (рА) кБ = Ак (рБ)

Захваљујући овим својствима векторски производ можемо израчунати користећи законе алгебре, под условом да се ред поштује. На пример:

Ако је А = (1, 2, 3) и Б = (3, -2, 4), можемо их преписати на основу канонске основе Р3.

Тако, А = и + 2ј + 3к и Б = 3и - 2ј + 4к. Затим, примењујући претходна својства:

АкБ = (и + 2ј + 3к) к (3и - 2ј + 4к)

= 3 (ики) - 2 (икј) + 4 (икк) + 6 (јки) - 4 (јкј) + 8 (јкк) + 9 (кки) - 6 (ккј) +12 (ккк)

= 3 (0) - 2 (к) + 4 (- ј) + 6 (- к) - 4 (0) + 8 (и) + 9 (ј) - 6 (- и) +12 (0)

= - 2к - 4ј - 6к + 8и + 9ј + 6и = 14и + 5ј - 4к

= (14, 5, - 8).

Објекат 4 (троструки скаларни производ)

Као што смо на почетку поменули, постоје и други начини умножавања вектора поред векторског производа. Један од ових начина је скаларни производ или интерни производ, који је означен као А анд Б и чија је дефиниција:

Ако је А = (а1, а2, а3) и Б = (б1, б2, б3), онда је А = Б = а1б1 + а2б2 + а3б3

Својство које повезује оба производа је познато као троструки скаларни производ.

Ако су А, Б и Ц Р вектори3, тада А к БкЦ = АкБ. Ц

Као пример, да видимо да, с обзиром на А = (1, 1, - 2), Б = (- 3, 4, 2) и Ц = (- 5, 1, - 4), ово својство је испуњено.

БкЦ = - 3к - 12ј + 20к - 16и - 10ј - 2и = - 18и - 22ј + 17к

А к БкЦ = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

С друге стране:

АкБ = 4к - 2ј + 3к + 2и + 6ј + 8и = 10и + 4ј + 7к

АкБ = Ц = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Други троструки производ је Ак (БкЦ), који је познат као троструки векторски производ.

Својство 5 (производ троструког вектора)

Ако су А, Б и Ц Р вектори3,  тада:

Ак (БкЦ) = (А) Ц) Б - (А) Б) Ц

Као пример, да видимо да, с обзиром на А = (1, 1, - 2), Б = (- 3, 4, 2) и Ц = (- 5, 1, - 4), ово својство је испуњено.

Из претходног примера знамо да је БкЦ = (- 18, - 22, 17). Израчунај Ак (БкЦ):

Ак (БкЦ) = - 22к - 17ј + 18к + 17и + 36ј - 44и = - 27и + 19ј - 4к

С друге стране, морамо:

А = Ц = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

А = Б = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Дакле, морамо:

(А) Ц) Б - (А) Б) Ц = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

Проперти 6

То је једна од геометријских својстава вектора. Ако су А и Б два вектора у Р3 и Θ је угао који се формира између њих, а затим:

|| АкБ || = || А |||| Б || син (Θ), когато || ∙ || означава модул или величину вектора.

Геометријска интерпретација ове особине је следећа:

Нека је А = ПР и Б = ПК. Затим, угао који формирају вектори А и Б је угао П троугла РКП, као што је приказано на следећој слици.

Дакле, површина паралелограма са суседним странама ПР и ПК је || А |||| Б || син (,), јер можемо узети као основу || А || и његова висина је дата од || Б || син ().

Због тога можемо закључити да || АкБ || је подручје наведеног паралелограма.

Пример

С обзиром на следеће тачке квадрилатерале П (1, -2,3), К (4, 3, -1), Р (2, 2,1) и С (5,7, -3), показује да је речени четвороугао је паралелограм и проналази своје подручје.

За ово прво одредимо векторе који одређују правац страна четвороугла. Ово је:

А = ПК = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

Б = ПР = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

Ц = РС = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

Д = КС = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Као што можемо приметити да А и Ц имају истог векторског директора, за који имамо да су оба паралелна; на исти начин као што се дешава са Б и Д. Стога закључујемо да је ПКРС паралелограм.

Да би имали површину наведеног паралелограма, израчунали смо БкА:

БкА = (и + 4ј - 2к) к (3и + 5ј - 4к)

= 5к + 4ј - 12к - 16и - 6ј + 10и

= - 6и - 2ј - 7к.

Стога ће квадрат бити:

|| БкА ||2 = (- 6)2 + (- 2)2 + (- 7)2 = 36 + 4 + 49 = 89.

Може се закључити да ће паралелограм бити квадратни корен од 89.

Проперти 7

Два вектора А и Б су паралелна у Р3 да и само ако је АкБ = 0

Демонстрација

Јасно је да ако су А или Б нулти вектор, следи да је АкБ = 0. Будући да је нулти вектор паралелан са било којим другим вектором, онда је својство валидно.

Ако ниједан од два вектора није нулти вектор, имамо да су њихове магнитуде различите од нуле; то јест, оба || А || Ас 0 као || Б || , 0, тако да ћемо морати | | АкБ || = 0 ако и само ако син (=) = 0, а то се дешава ако и само ако је π = π или 0 = 0.

Дакле, можемо закључити да је АкБ = 0 ако и само ако је π = π или 0 = 0, што се догађа само када су оба вектора паралелна један другом..

Проперти 8

Ако су А и Б два вектора у Р3, тада је АкБ окомито на оба А и Б.

Демонстрација

За ову демонстрацију, запамтите да су два вектора окомита ако је А ис Б једнака нули. Поред тога, знамо да:

А Б АкБ = АкА ∙ Б, али АкА је једнака 0. Дакле, морамо:

А Б АкБ = 0 = Б = 0.

Овим се може закључити да су А и АкБ окомито једна на другу. На аналоган начин морамо:

АкБ = Б = А к БкБ.

Као БкБ = 0, морамо:

АкБ = Б = А = 0 = 0.

Према томе, АкБ и Б су окомити један на други и тиме се доказује својство. Ово је веома корисно, јер нам омогућавају да одредимо једначину авиона.

Пример 1

Добити једнаџбу равнине која пролази кроз тачке П (1, 3, 2), К (3, - 2, 2) и Р (2, 1, 3).

Нека је А = КР = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) и Б = ПР = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Тада А = - и + 3ј + к и Б = и - 2ј + к. Да би се пронашла равнина коју су формирале те три тачке, довољно је да пронађемо вектор који је нормалан на равни, а то је АкБ.

АкБ = (- и + 3ј + к) к (и - 2ј + к) = 5и + 2ј - к.

Са овим вектором и узимањем тачке П (1, 3, 2), можемо одредити једначину равни на следећи начин:

(5, 2, - 1) к (к - 1, и - 3, з - 2) = 5 (к - 1) + 2 (и - 3) - (з - 2) = 0

Дакле, имамо једнаџбу равнине 5к + 2и - з - 9 = 0.

Пример 2

Нађите једначину равнине која садржи тачку П (4, 0, - 2) и која је окомита на сваку од равнина к - и + з = 0 и 2к + и - 4з - 5 = 0 .

Знајући да је нормални вектор на равни акс + са + цз + д = 0 (а, б, ц), имамо да је (1, -1,1) нормалан вектор од к - и + з = 0 и ( 2.1, - 4) је нормални вектор 2к + и - 4з - 5 = 0.

Дакле, нормални вектор на тражену раван мора бити окомит на (1, -1,1) и а (2, 1, - 4). Речени вектор је:

(1, -1,1) к (2,1, - 4) = 3и + 6ј + 3к.

Тада имамо да је тражена равнина она која садржи тачку П (4,0, - 2) и има вектор (3,6,3) као нормални вектор.

3 (к - 4) + 6 (и - 0) + 3 (з + 2) = 0

к + 2и + з - 2 = 0.

Апплицатионс

Израчунавање запремине паралелепипеда

Апликација која има троструки скаларни производ треба да буде у стању да израчуна запремину паралелопипеда чије ивице су дате векторима А, Б и Ц, као што је приказано на слици:

Ова апликација може закључити како слиједи: као је горе наведено, АкБ вектор је вектор који је нормално равни А и Б имају вектор - (акб) је још један вектор нормале поменуте равни.

Изаберемо нормални вектор који формира најмањи угао са вектором Ц; без губитка општости, нека је АкБ вектор чији је угао са Ц најмањи.

Имамо да и АкБ и Ц имају исту полазну тачку. Поред тога, знамо да је површина паралелограма која чини основу паралелопипеда || АкБ ||. Према томе, ако је висина паралелепипеда дата х, имамо да је њена запремина:

В = || АкБ || х.

С друге стране, размотримо скаларни производ између АкБ и Ц, који се може описати на следећи начин:

Међутим, тригонометријским особинама имамо да је х = || Ц || цос (Θ), тако да морамо:

На овај начин морамо:

Уопштено говорећи, имамо да је волумен паралелепипеда дат апсолутном вредношћу троструког скаларног производа АкБ ∙ Ц.

Решене вежбе

Вежба 1

Од тачке П = (5, 4, 5), К = (4, 10, 6), Р = (1, 8, 7) и С = (2, 6, 9), ове тачке формирају паралелопипед чије ивице они су ПК, ПР и ПС. Одређивање обима поменутог параллелепипеда.

Решење

Ако узмемо:

- А = ПК = (-1, 6, 1)

- Б = ПР = (-4, 4, 2)

- Ц = ПС = (-3, 2, 2)

Користећи својство троструког скаларног производа, морамо:

АкБ = (-1, 6, 1) к (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

АкБ = Ц = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 + 80 = 52.

Према томе, имамо да је запремина поменутог паралелопипеда 52.

Вежба 2

Одређивање јачине звука параллелепипеда чије ивице су дати А = ПК, Б = ПР и Ц = ПС, где су тачке П, К, Р и С (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) и (2, 2, 5), респективно.

Решење

Прво имамо А = (2, 2, -1), Б = (1, -2, 2), Ц = (1, -1, 1).

Израчунамо АкБ = (2, 2, -1) к (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Тада израчунамо АкБ: Ц:

АкБ = Ц = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Тако закључујемо да је запремина поменутог паралелопипеда 1 кубична јединица.

Референце

  1. Леитхолд, Л.. ИЗРАЧУН са аналитичком геометријом. ХАРЛА, С.А.
  2. Ресницк, Р., Халлидаи, Д., & Кране, К. (2001). Пхисицс Вол. Мексико: Цонтинентал.
  3. Саенз, Ј. (с.ф.). Вецтор Цалцулатион 1ед. Хипотенусе.
  4. Спиегел, М. Р. (2011). Вецтор Аналисис 2ед. Мц Грав Хилл.
  5. Зилл, Д.Г. & Вригхт, В. (2011). Израчунавање различитих варијабли 4ед. Мц Грав Хилл.