Технике и примјери бројања на принципу множења



Тхе мултипликативни принцип је техника која се користи за рјешавање проблема бројања како би се пронашло рјешење без потребе за пописом његових елемената. Познат је и као фундаментални принцип комбинаторне анализе; заснива се на узастопном множењу како би се одредило како се догађај може догодити.

Овај принцип утврђује да, ако одлука (д1) може се донијети на н начина и другом одлуком (д2) може се узети у м начину, укупан број начина на које се могу доносити одлуке1 и д2 ће бити једнако множењу н * м. Према принципу, свака одлука се доноси једна за другом: број начина = Н1 * Н2... * Нк начина.

Индек

  • 1 Примери
    • 1.1 Пример 1
    • 1.2 Пример 2
  • 2 Технике бројања
    • 2.1 Принцип додавања
    • 2.2 Принцип пермутације
    • 2.3 Принцип комбинације
  • 3 Вежбе решене
    • 3.1 Вежба 1
    • 3.2 Вежба 2
  • 4 Референце

Примери

Пример 1

Паула планира да оде у кино са својим пријатељима, а да би одабрала одећу коју ће носити, издвојила сам 3 блузе и 2 сукње. Колико се Паула може облачити??

Решење

У овом случају, Паула мора донијети двије одлуке:

д1 = Изаберите између 3 блузе = н

д2 = Изаберите између 2 сукње = м

Тако Паула има н * м одлуке да се направе или различити начини облачења.

н * м = 3* 2 = 6 одлука.

Мултипликативни принцип долази од технике дијаграма стабла, која је дијаграм који повезује све могуће резултате, тако да се сваки може појавити коначан број пута..

Пример 2

Марио је био јако жедан, па је отишао у пекару да купи сок. Луис му одговара и каже му да има две величине: велике и мале; и четири укуса: јабука, наранџа, лимун и грожђе. Колико начина Марио може да изабере сок?

Решење

У дијаграму се може приметити да Марио има 8 различитих начина за избор сока и да је, као у мултипликативном принципу, овај резултат добијен множењем н.*м. Једина разлика је у томе што кроз овај дијаграм можете знати како је Марио изабрао сок.

С друге стране, када је број могућих резултата веома велики, практичније је користити мултипликативни принцип.

Технике бројања

Технике бројања су методе које се користе за директно пребројавање и стога знају број могућих аранжмана које елементи датог скупа могу имати. Ове технике се заснивају на неколико принципа:

Принцип додавања

Овај принцип каже да, ако се два догађаја м и н не могу појавити у исто време, број начина на које се први или други догађај може догодити биће сума м + н:

Број облика = м + н ... + к различитих облика.

Пример

Антонио жели да оде на пут, али не одлучује на коју дестинацију; у Јужној туристичкој агенцији они вам нуде промоцију за путовање у Нев Иорк или Лас Вегас, док источна туристичка агенција препоручује да путујете у Француску, Италију или Шпанију. Колико различитих путничких алтернатива нуди Антонио?

Решење

Са Јужном туристичком агенцијом Антонио има 2 алтернативе (Нев Иорк или Лас Вегас), док са Еаст Тоурисм Агенци има 3 опције (Француска, Италија или Шпанија). Број различитих алтернатива је:

Број алтернатива = м + н = 2 + 3 = 5 алтернатива.

Принцип пермутације

Ради се о наручивању конкретно свих или неких елемената који чине скуп, како би се олакшало пребројавање свих могућих аранжмана који се могу направити са елементима.

Број пермутација н различитих елемената, узетих одједном, представљен је као:

нПн = н!

Пример

Четири пријатеља желе да се сликају и желе да знају колико се различитих форми може наручити.

Решење

Желите да сазнате све могуће начине на које се могу смјестити 4 особе како би снимили слику. Дакле, морате:

4П4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 различитих начина.

Ако се број пермутација н расположивих елемената узима за делове скупа који су формирани од р елемената, он је представљен као:

нПр = н! Н (н - р)!

Пример

У учионици има 10 позиција. Ако 4 ученика похађају наставу, на колико различитих начина ученици могу заузети положаје?

Решење

Укупан број комплета столица је 10, од ​​којих ће се користити само четири, а дата формула се користи за одређивање броја пермутација:

нПр = н! Н (н - р)!

10П4 = 10! 10 (10 - 4)!

10П4 = 10! . 6!

10П4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1. 6*5*4*3*2*1 = 5040 начина за попуњавање постова.

Постоје случајеви у којима се неки од расположивих елемената скупа понављају (исти су). Да би се израчунао број аранжмана који узимају све елементе одједном, користи се следећа формула:

нПр = н! . Н1!* н2!... нр!

Пример

Колико се различитих ријечи од четири слова може формирати из ријечи "вук"?

Решење

У овом случају имамо 4 елемента (слова) од којих су два потпуно иста. Примјењујући наведену формулу, знамо колико је различитих ријечи:

нПр = н! . Н1!* н2!... нр!

4П2, 1.1 = 4! . 2!*1!*1!

4П2, 1, 1 = (4*3*2*1) (2*1)*1*1

4П2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 различитих речи.

Принцип комбинације

Ради се о фиксирању свих или неких елемената који формирају скуп без одређеног реда. На пример, ако имате КСИЗ низ, он ће бити идентичан ЗКСИ, ИЗКС, ЗИКС низовима, између осталог; то је зато што, упркос томе што нису у истом поретку, елементи сваког аранжмана су исти.

Када се узму неки елементи (р) скупа (н), принцип комбинације се даје следећом формулом:

нЦр = н! Н (н - р)! Р!

Пример

У продавници продају 5 различитих врста чоколаде. Колико различитих начина можете одабрати 4 чоколаде?

Решење

У овом случају морате изабрати 4 чоколаде од 5 врста које се продају у продавници. Редослијед којим су изабрани није важан, а поред тога, врста чоколаде може се бирати више од два пута. Примјењујући формулу, морате:

нЦр = н! Н (н - р)! Р!

5Ц4 = 5! 5 (5 - 4)! 4!

5Ц4 = 5! (1)!!

5Ц4 = 5*4*3*2*1. 4*3*2*1

5Ц4 = 120 = 24 = 5 различитих начина за избор 4 чоколаде.

Када се узимају сви елементи (р) скупа (н), принцип комбинације се даје следећом формулом:

нЦн = н!

Решене вежбе

Вежба 1

Имате бејзбол тим са 14 чланова. На колико начина можете додијелити 5 позиција за игру?

Решење

Сет се састоји од 14 елемената и желите да доделите 5 специфичних позиција; то јест, тај ред је важан. Примењена је пермутациона формула где су н расположиви елементи заузети деловима скупа које формира р.

нПр = н! Н (н - р)!

Где је н = 14 и р = 5. Замењује се формулом:

14П5 = 14! 14 (14 - 5)!

14П5 = 14! (9) \ т!

14П5 = 240 240 начина да доделите 9 позиција за игру.

Вежба 2

Ако породица од девет чланова оде на путовање и купи карте са узастопним седиштима, колико различитих начина могу да седе?

Решење

Ради се о 9 елемената који ће заузети 9 мјеста заредом.

П9 = 9!

П9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 различитих начина седења.

Референце

  1. Хопкинс, Б. (2009). Ресурси за подучавање дискретне математике: пројекти у учионици, историјски модули и чланци.
  2. Јохнсонбаугх, Р. (2005). Дискретна математика Пеарсон Едуцатион,.
  3. Лутфиииа, Л.А. (2012). Коначан и дискретан проблем решава проблеме. Уредници Удружења за истраживање и образовање.
  4. Падро, Ф. Ц. (2001). Дискретна математика Политец. оф Цаталуниа.
  5. Стеинер, Е. (2005). Математика за примењене науке. Реверте.