Карактеристике паралелепипеда, типови, површина, запремина

А параллелепипед је геометријско тело формирано са шест лица, чија је главна карактеристика да су сва њихова лица паралелограми, а њихове супротне стране су паралелне једна са другом. То је уобичајени полиедар у нашем свакодневном животу, јер га можемо наћи у кутијама за ципеле, облику цигле, облику микроталасне, итд..

Будући да је полиедар, паралелопипед окружује коначни волумен и сва његова лица су равна. Она је део групе призми, то су они полиедри у којима су сви њихови врхови садржани у две паралелне равни.

Индек

• 1 Елементи паралелепипеда
  • 1.1 Лица
  • 1.2 Едгес
  • 1.3 Вертек
  • 1.4 Диагонал
  • 1.5 Центер
• 2 Карактеристике паралелепипеда
• 3 Типови
  • 3.1 Прорачун дијагонала
• 4 Ареа
  • 4.1 Површина ортоедрона
  • 4.2 Површина коцке
  • 4.3 Подручје ромбоедра
  • 4.4 Подручје ромбичког
• 5 Запремина паралелепипеда
  • 5.1 Савршен паралелопипед
• 6 Библиографија

Елементи паралелепипеда

Фацес

Они су сваки од региона формираних паралелограма који ограничавају паралелопипед. Паралелепипед има шест лица, при чему свако лице има четири сусједна лица и једну супротну страну. Поред тога, свака страна је паралелна са својом супротношћу.

Едгес

Они су заједничка страна два лица. Укупно паралелопипед има дванаест ивица.

Вертек

То је заједницка тацка три лица која се налазе један до другога два до два. Паралелопипед има осам врхова.

Диагонал

С обзиром на две супротне стране паралелепипеда, можемо нацртати линију која иде од врха једног лица до супротног врха другог.

Овај сегмент је познат као дијагонала паралелопипеда. Сваки паралелопипед има четири дијагонале.

Довнтовн

То је тачка у којој се пресецају све дијагонале.

Карактеристике паралелепипеда

Као што смо поменули, ово геометријско тело има дванаест ивица, шест лица и осам врхова.

У паралелопипеду можете идентификовати три скупа формирана од четири ивице, које су паралелне једна са другом. Поред тога, ивице ових сетова такође испуњавају својство исте дужине.

Још једна особина коју поседују паралелопипеди је да су конвексни, тј. Ако узмемо било који пар тачака које припадају унутрашњости паралелепипеда, сегмент одређен тим паром тачака ће такође бити унутар паралелопипеда..

Поред тога, паралелопипеди који су конвексни полиедри су у складу са Еулеровом теоремом за полиедре, што нам даје везу између броја лица, броја ивица и броја врхова. Овај однос је дат у облику следеће једначине:

Ц + В = А + 2

Ова особина је позната као Еулерова карактеристика.

Где је Ц број лица, В број врхова и А број ивица.

Типови

Паралелопипеде можемо класификовати на основу њихових лица, у следећим типовима:

Ортопедски

Они су паралелепипеди где су њихова лица формирана од шест правоугаоника. Сваки правоугаоник је окомит са онима које дели ивицу. Они су најчешћи у нашем свакодневном животу, а то је уобичајен начин кутија за ципеле и цигле.

Коцка или регуларни хексаедрон

Ово је посебан случај претходног, где је свако лице квадрат.

Коцка је такође део геометријских тела које се називају платонске чврсте материје. Платонски чврсти материјал је конвексни полиедар, тако да су и његова лица и унутрашњи углови једнаки један другом.

Ромбоедро

То је паралелепипед са дијамантима на лицу. Сви ти дијаманти су једнаки, јер дијеле рубове.

Ромбоиедро

Његова шест лица су ромбоиди. Подсетите се да је ромбоид полигон са четири стране и четири угла једнака два према два. Ромбоиди су паралелограми који нису ни квадратни, ни правоугаоници, ни ромбови.

С друге стране, коси паралелопипеди су они у којима се најмање једна висина не слаже са његовом ивицом. У ову класификацију можемо укључити ромбоедроне и ромбикедроне.

Диагонални прорачун

Да бисмо израчунали дијагоналу ортоедрона можемо користити Питагорејску теорему за Р³.

Подсјетимо се да ортоедрон има карактеристику да је свака страна окомита са странама које дијеле ивицу. Из те чињенице можемо закључити да је свака ивица окомита на оне које деле врх.

Да бисмо израчунали дужину дијагонале ортоедрона, поступимо на следећи начин:

1. Израчунавамо дијагоналу једног од лица, које ћемо поставити као базу. За ово користимо Питагорину теорему. Именујте ову дијагоналу д_б.

2. Затим са д_б можемо формирати нови прави троугао, тако да је хипотенуза наведеног троугла дијагонална Д тражена.

3. Поново користимо Питагорину теорему и имамо да је дужина наведене дијагонале:

Други начин за израчунавање дијагонала на графички начин је са сумом слободних вектора.

Подсетимо се да се два слободна вектора А и Б додају стављањем репа вектора Б са врхом вектора А.

Вектор (А + Б) је онај који почиње на репу А и завршава на врху Б.

Размотримо паралелопипед на који желимо израчунати дијагоналу.

Идентификујемо ивице са погодно оријентисаним векторима.

Тада ћемо додати ове векторе и резултујући вектор ће бити дијагонала паралелепипеда.

Ареа

Подручје паралелепипеда је дато сумом сваког подручја њихових лица.

Ако одредимо једну од страна као базу,

А_Л + 2А_Б = Укупна површина

Вхере А_Л једнака је суми површина свих страна сусједних базе, које се називају бочна површина и А_Б је основна област.

У зависности од типа паралелопипеда са којим радимо, можемо преписати наведену формулу.

Подручје ортоедрона

Даје се по формули

А = 2 (аб + бц + ца).

Пример 1

Дати следећи ортоедрон, са странама а = 6 цм, б = 8 цм и ц = 10 цм, израчунати површину паралелепипеда и дужину његове дијагонале.

Користећи формулу за подручје ортоедрона морамо

А = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 цм².

Имајте на уму да је дужина било које од четири дијагонале, пошто је ортохедрон, иста.

Користимо Питагорин теорем за простор који морамо

Д = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Површина коцке

Пошто свака ивица има исту дужину, имамо а = б и а = ц. Замењујемо претходну формулу коју имамо

А = 2 (аа + аа + аа) = 2 (3а²) = 6а²

А = 6а²

Пример 2

Кутија играће конзоле има облик коцке. Ако желимо да ову кутију умотамо у папир за поклон, колико папира бисмо потрошили знајући да је дужина ивица коцке 45 цм?

Користећи формулу кубног подручја то добијамо

А = 6 (45 цм)² = 6 (2025 цм²= 12150 цм²

Подручје ромбоедра

Пошто су сва њихова лица једнака, довољно је израчунати површину једне од њих и помножити је са шест.

Можемо израчунати површину дијаманта користећи њене дијагонале следећом формулом

А_Р = (Дд) / 2

Користећи ову формулу следи да је укупна површина ромбоедра

А_Т = 6 (Дд) / 2 = 3Дд.

Пример 3

Лица следећег ромбоедра формирана су ромбом чије су дијагонале Д = 7 цм и д = 4 цм. Ваша област ће бити

А = 3 (7 цм) (4 цм) = 84 цм².

Подручје ромбичног

Да бисмо израчунали површину ромбичног, морамо израчунати површину ромбоида који је чине. Пошто се паралелопипеди слажу са својством да супротне стране имају исту површину, можемо повезати стране у три пара.

Овако ћемо имати вашу област

А_Т = 2б₁х₁ + 2б₂х₂ + 2б₃х₃

Где б_и су основе повезане са странама и_и његова релативна висина која одговара наведеним основама.

Пример 4

Размотрите следећи паралелопипед,

где страна А и страна А '(њена супротна страна) имају као основу б = 10, а за висину х = 6. Обележена површина ће имати вредност од

А₁ = 2 (10) (6) = 120

Б и Б 'имају б = 4 и х = 6, онда

А₂ = 2 (4) (6) = 48

А Ц и Ц 'имају б = 10 и х = 5, дакле

А₃ = 2 (10) (5) = 100

На крају је подручје ромбоедра

А = 120 + 48 + 100 = 268.

Запремина паралелепипеда

Формула која нам даје волумен паралелепипеда је производ површине једне од њених страна по висини која одговара поменутом лицу..

В = А_Цх_Ц

У зависности од типа паралелепипеда, наведена формула се може поједноставити.

Тако, на пример, имамо волумен ортоедрона

В = абц.

Где а, б и ц представљају дужину ортоедронских ивица.

У конкретном случају коцке је

В = а³

Пример 1

Постоје три различита модела за кутије колачића и желите знати у којем од ових модела можете похранити више колачића, то јест, који од кутија има највећи волумен.

Први је коцка чија ивица има дужину а = 10 цм

Његова запремина ће бити В = 1000 цм³

Други има ивице б = 17 цм, ц = 5 цм, д = 9 цм

Због тога је његов волумен В = 765 цм³

Трећи има е = 9 цм, ф = 9 цм и г = 13 цм

Његов волумен је В = 1053 цм³

Према томе, кутија са највећом запремином је трећа.

Други метод за добијање волумена паралелепипеда је прибјегавање векторској алгебри. Посебно, троструки скаларни производ.

Једна од геометријских интерпретација која има троструки скаларни производ је волумен паралелепипеда, чије ивице су три вектора који деле исту вертекс као полазну тачку..

На овај начин, ако имамо паралелепипед и желимо да знамо шта је његов волумен, довољно је да га представимо у координатном систему у Р³ упаривање једног од његових врхова са пореклом.

Тада представљамо ивице које се слажу у пореклу са векторима као што је приказано на слици.

И на тај начин ми имамо да је обим поменутог паралелепипеда дат

В = | АкБ | Ц |

Или, еквивалентно, запремина је детерминанта матрице 3 × 3, коју чине компоненте рубних вектора.

Пример 2

Представљајући следећи паралелепипед у Р³ можемо видети да су вектори који га одређују следећи

у = (-1, -3.0), в = (5, 0, 0) и в = (-0.25, -4, 4)

Користимо троструки скаларни производ који имамо

В = | (укв) | в |

укв = (-1, -3.0) к (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(укв) = в = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Из овога закључујемо да је В = 60

Сада размотримо следећи паралелопипед у Р3 чије се ивице одређују векторима

А = (2, 5, 0), Б = (6, 1, 0) и Ц = (3, 4, 4)

Користећи детерминанте то нам даје

Дакле, ми имамо да је волумен реченог паралелепипеда 112.

Оба су еквивалентни начини израчунавања волумена.

Перфецт параллелепипед

То је познато као Ејлерова цигла (или Ејлеров блок) до ортоедра који испуњава својство да су и дужина његових ивица и дужина дијагонала сваког његовог лица цели бројеви.

Док Еулер није био први научник који је проучавао ортоедроне који испуњавају ту својину, пронашао је занимљиве резултате о њима.

Мањи Еулер цигла открио је Паул Халцке, а његове ивице су а = 44, б = 117 и ц = 240.

Отворени проблем у теорији бројева је следећи

Има ли савршених ортоедрона?

Тренутно се на ово питање није могло одговорити, будући да није било могуће доказати да та тијела не постоје, али није пронађено ниједно.

До сада је показано да постоје савршени паралелопипеди. Први који је откривен има дужину својих рубова вриједности 103, 106 и 271.

Библиографија

1. Гуи, Р.. Нерешени проблеми у теорији бројева. Спрингер.
2. Ландаверде, Ф. д. (1997). Геометри. Напредак.
3. Леитхолд, Л.. ИЗРАЧУН са аналитичком геометријом. ХАРЛА, С.А.
4. Рендон, А. (2004). Технички цртеж: Радна свеска 3 Друга матура . Тебар.
5. Ресницк, Р., Халлидаи, Д., & Кране, К. (2001). Пхисицс Вол. Мексико: Цонтинентал.