Минимални квадратни метод, решене вежбе и оно што служи



Метод најмањи квадрати је једна од најважнијих апликација у апроксимацији функција. Идеја је да се нађе крива таква да, с обзиром на скуп наредених парова, ова функција боље апроксимира податке. Функција може бити линија, квадратна кривуља, кубична крива, итд..

Идеја методе је да минимизира суму квадрата разлика у ординатама (компонента И), између тачака које генерише изабрана функција и тачака које припадају скупу података.

Индек

  • 1 метод најмањих квадрата
  • 2 Вежбе решене
    • 2.1 Вежба 1
    • 2.2 Вежба 2
  • 3 Шта је то??
  • 4 Референце

Метода најмањих квадрата

Пре него што дамо методу, прво морамо бити јасни шта значи "бољи приступ". Претпоставимо да тражимо линију и = б + мк која најбоље представља скуп од н тачака, наиме (к1, и1), (к2, и2) ..., (кн, ин).

Као што је приказано на претходној слици, ако су варијабле к и и повезане линијом и = б + мк, онда би за к = к1 одговарајућа вредност и била б + мк1. Међутим, ова вредност се разликује од праве вредности и, која је и = и1.

Сјетите се да је у равнини удаљеност између двије точке дата сљедећом формулом:

Имајући то у виду, да одредимо како да изаберемо линију и = б + мк која најбоље апроксимира дате податке, има смисла користити селекцију линије која минимизира суму квадрата удаљености између тачака као критеријума. и право.

Како је удаљеност између тачака (к1, и1) и (к1, б + мк1) и1- (б + мк1), наш проблем је сведен на проналажење бројева м и б тако да је следећа сума минимална:

Линија која испуњава овај услов је позната као "апроксимација линије најмањих квадрата до тачака (к1, и1), (к2, и2), ..., (кн, ин)".

Када се проблем реши, морамо изабрати метод за проналажење апроксимације најмањих квадрата. Ако су тачке (к1, и1), (к2, и2), ..., (кн, ин) све на линији и = мк + б, морали бисмо бити колинеарни и:

У овом изразу:

Коначно, ако тачке нису колинеарне, онда је и-Ау = 0 и проблем се може превести у проналажење вектора или тако да је еуклидска норма минимална.

Проналажење вектора за минимизирање није тако тешко као што мислите. Пошто је А матрица нк2 и у је матрица 2 × 1, имамо да је вектор Ау вектор у Рн и припада слици А, која је подпростор Рн са димензијом не већом од две.

Претпоставићемо да је н = 3 да покажемо која је процедура коју треба слиједити. Ако је н = 3, слика А ће бити раван или линија која пролази кроз поријекло.

Нека в буде минимизирајући вектор. На слици видимо да је и-Ау минимизиран када је ортогоналан на слику А. То је, ако је в вектор минимизирања, онда се дешава да:

Затим, можемо изразити горе наведено на овај начин:

То се може догодити само ако:

Коначно, чишћење в, морамо:

То је могуће урадити још од времена АтА је инверзибилан све док н тачака датих као подаци нису колинеарне.

Сада, ако уместо тражења линије желимо да пронађемо параболу (чији израз би имао облик и = а + бк + цк)2) да је била боља апроксимација н тачака података, процедура би била као што је описано у наставку.

Ако би н тачака података било у наведеној параболи, морало би да:

Затим:

На сличан начин можемо написати и = Ау. Ако све тачке нису у параболи, имамо да је и-Ау различит од нуле за било који вектор у и наш проблем је опет: наћи вектор у у Р3 тако да његова норма || и-Ау || будите што мањи.

Понављањем претходне процедуре можемо доћи до вектора који се тражи:

Решене вежбе

Вежба 1

Пронађите линију која најбоље одговара тачкама (1,4), (-2,5), (3, -1) и (4,1).

Решење

Морамо:

Затим:

Стога закључујемо да се линија која најбоље одговара тачкама даје:

Вежба 2

Претпоставимо да је објекат испуштен са висине од 200 м. Док падају, предузимају се следеће мере:

Знамо да је висина тог објекта, након што је прошло време т, дата:

Ако желимо да добијемо вредност г, можемо да пронађемо параболу која је боља апроксимација пет тачака датих у табели, тако да бисмо имали коефицијент који прати т \ т2 то ће бити разумна апроксимација (-1/2) г ако су мерења тачна.

Морамо:

А онда:

Тако се тачке података подешавају следећим квадратним изразом:

Затим морате:

Ово је вредност која је релативно близу тачној, која је г = 9,81 м / с2. Да би се добила прецизнија апроксимација г потребно је кренути од прецизнијих опсервација.

За шта је??

У проблемима који се јављају у природним или друштвеним наукама погодно је написати односе који се јављају између различитих варијабли помоћу неког математичког израза.

На пример, можемо повезати трошкове (Ц), доходак (И) и профит (У) у економији помоћу једноставне формуле:

У физици можемо повезати убрзање узроковано гравитацијом, вријеме када је објект опадао и висину објекта према закону:

У претходном изразу со је почетна висина тог објекта и во је ваша почетна брзина.

Међутим, проналажење оваквих формула није једноставан задатак; обично је на дужности професионалца да ради са много података и више пута изведе неколико експеримената (како би проверио да ли су добијени резултати константни) да би пронашли односе између различитих података.

Уобичајени начин да се то постигне је да се подаци добијени у равни приказују као тачке и трага за континуираном функцијом која се оптимално приближава овим тачкама.

Један од начина проналажења функције која "најбоље апроксимира" датих података је метода најмањих квадрата.

Поред тога, као што смо видели иу вежби, захваљујући овој методи можемо добити приближне апроксимације физичким константама.

Референце

  1. Цхарлес В Цуртис Линеарна алгебра. Спрингер-Веларг
  2. Каи Лаи Цхунг Елементарна теорија пропусности са стохастичким процесима. Спрингер-Верлаг Нев Иорк Инц
  3. Рицхар Л Бурден & Ј. Доуглас Фаирес. Нумеричка анализа (7ед). Тхомпсон Леарнинг.
  4. Станлеи И. Гроссман. Примене линеарне алгебре. МЦГРАВ-ХИЛЛ / ИНТЕРАМЕРИЦАНА ДЕ МЕКСИЦО
  5. Станлеи И. Гроссман. Линеарна алгебра МЦГРАВ-ХИЛЛ / ИНТЕРАМЕРИЦАНА ДЕ МЕКСИЦО