Метода линеарне интерполације, решене вежбе



Тхе линеарна интерполација је метода која потиче из опће интерполације Невтона и омогућава да се апроксимацијом одреди непозната вриједност која је између два задана броја; то јест, постоји средња вредност. Такође се примењује на апроксимативне функције, где су вредности ф(а) и ф(б) они су познати и желите да знате посредник ф(к).

Постоје различити типови интерполације, као што су линеарни, квадратни, кубни и виши ступњеви, најједноставнији је линеарна апроксимација. Цена која се мора платити линеарном интерполацијом је да резултат неће бити тако прецизан као код апроксимација функција виших разреда.

Индек

  • 1 Дефиниција
  • 2 Метод
  • 3 Вежбе решене
    • 3.1 Вежба 1
    • 3.2 Вежба 2
  • 4 Референце

Дефиниција

Линеарна интерполација је процес који вам омогућава да закључите вредност између две добро дефинисане вредности, које могу бити у табели или у линеарном графу..

На пример, ако знате да су 3 литре млека вредне 4 долара и да је 5 литара вредно 7 долара, али желите да знате која је вредност од 4 литре млека, интерполиране да бисте утврдили да је средња вредност.

Метход

За процену средње вредности функције функција ф је апроксимирана(к) помоћу равне линије р(к), што значи да функција варира линеарно са "к" за растезање "к = а" и "к = б"; то јест, за "к" вредност у интервалу (к0, к1) и (и0, и1), вредност "и" је дата линијом између тачака и изражена је следећим релацијама:

(и - и0) ÷ (к - к0) = (и1 - и0) ÷ (к1 - к0)

Да би интерполација била линеарна, неопходно је да је интерполациони полином степен један (н = 1), тако да се прилагођава вредностима к0 и к1.

Линеарна интерполација се заснива на сличности троуглова, тако да, геометријски из претходног израза, можемо добити вредност "и", која представља непознату вредност за "к"..

На тај начин морате:

а = тан Ɵ = (супротна страна1 Ент сусједна нога1) = (супротна страна2 Ент сусједна нога2)

Изражено на други начин, то је:

(и - и0) ÷ (к - к0) = (и1 - и0) ÷ (к1 - к0)

Чишћење "и" израза, имате:

(и - и0) * (к1 - к0) = (к - к0) * (и1 - и0)

(и - и0) = (и1 - и0) * (к - к0) ÷ (к1 - к0)]

Тако добијамо општу једначину за линеарну интерполацију:

и = и0 + (и1 - и0) * (к - к0) ÷ (к1 - к0)]

У принципу, линеарна интерполација даје малу грешку у односу на стварну вредност праве функције, иако је грешка минимална у поређењу са ако интуитивно изаберете број који је близу оном који желите да пронађете..

Ова грешка настаје када покушате да приближите вредност криве правом линијом; за те случајеве величина интервала мора бити смањена како би апроксимација била прецизнија.

За боље резултате у односу на приступ, препоручљиво је да користите функције степена 2, 3 или чак и вишег степена за извођење интерполације. За ове случајеве Таилор-ова теорема је веома користан алат.

Решене вежбе

Вежба 1

Број бактерија по јединици запремине који постоји у инкубацији након к сати приказан је у следећој табели. Желите да знате колика је запремина бактерија у времену од 3,5 сата.

Решење

Референтна табела не успоставља вредност која указује на количину бактерија у времену од 3,5 сата, али има више и ниже вредности које одговарају времену од 3 и 4 сата. На тај начин:

к0 = 3 анд0 = 91

к = 3,5 и =?

к1 = 4 анд1 = 135

Сада, математичка једначина се примењује да би се пронашла интерполирана вредност, која је следећа:

и = и0 + (и1 - и0) * (к - к0) ÷ (к1 - к0)].

Затим се замењују одговарајуће вредности:

и = 91 + (135 - 91) * [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

и = 91 + (44)* [(0,5) ÷ (1)]

и = 91 + 44 * 0.5

и = 113.

Тако је добијено да за време од 3.5 сата количина бактерија износи 113, што представља средњи ниво између запремине бактерија које постоје у времену од 3 и 4 сата..

Вежба 2

Луис има фабрику сладоледа, и жели да направи студију како би одредио приходе које је имао у августу од трошкова које је направио. Менаџер компаније прави графикон који изражава ту везу, али Луис жели да зна:

Који су приходи за август, ако је направљен трошак од 55.000 $??

Решење

Графикон је дат са вредностима прихода и расхода. Луис жели сазнати колики је доходак у коловозу ако је творница имала трошак од 55.000 долара. Ова вредност се не одражава директно у графикону, већ су вредности веће и ниже од тога.

Прво се направи табела где треба лако повезати вредности:

Сада се формула интерполације користи за одређивање вредности и

и = и0 + (и1 - и0) * (к - к0) ÷ (к1 - к0)]

Затим се замењују одговарајуће вредности:

и = 56,000 + (78,000 - 56,000) * [(55.000 - 45.000) ÷ (62.000 - 45.000)]

и = 56,000 + (22,000) * [(10,000)] (17,000)]

и = 56,000 + (22,000) * (0,588)

и = 56,000 + 12,936

и = $ 68,936.

Ако је у августу направљен трошак од 55.000 долара, приход је износио 68.936 долара.

Референце

  1. Артхур Гоодман, Л.Х. (1996). Алгебра и тригонометрија са аналитичком геометријом. Пеарсон Едуцатион.
  2. Харпе, П. д. (2000). Теме у геометријској теорији група. Университи оф Цхицаго Пресс.
  3. Хазевинкел, М. (2001). Линеарна интерполација ", Енцицлопедиа оф Матхематицс.
  4. , Ј. М. (1998). Елементи нумеричких метода за инжењерство. УАСЛП.
  5. , Е. (2002). Хронологија интерполације: од древне астрономије до модерне обраде сигнала и слике. Зборник радова ИЕЕЕ.
  6. нумерички, И. а. (2006). Ксавиер Томас, Јорди Цуадрос, Луцинио Гонзалез.