Случајеви и примјери дјеломичних фракција



Тхе парцијалне фракције они су фракције формиране полиномима, у којима именилац може бити линеаран или квадратни полином и, поред тога, може се подићи на неку моћ. Понекад, када имамо рационалне функције, врло је корисно преписати ову функцију као суму парцијалних фракција или једноставних фракција.

То је зато што на овај начин можемо манипулисати овим функцијама на бољи начин, посебно у оним случајевима у којима је потребно интегрисати ову апликацију. Рационална функција је једноставно коефицијент између два полинома, и може бити правилан или неправилан.

Ако је степен полинома бројника мањи од називника, он се назива сопствена рационална функција; у супротном, позната је као неправилна рационална функција.

Индек

  • 1 Дефиниција
  • 2 Случајеви
    • 2.1 Случај 1
    • 2.2 Случај 2
    • 2.3 Случај 3
    • 2.4 Случај 4
  • 3 Апплицатионс
    • 3.1 Свеобухватни прорачун
    • 3.2 Закон масовног дјеловања
    • 3.3 Диференцијалне једначине: логистичка једначина
  • 4 Референце

Дефиниција

Када имамо неисправну рационалну функцију, можемо поделити полином бројника између полинома имениоца и тако преписати фракцију п (к) / к (к), слиједећи алгоритам поделе као т (к) + с (к) / к (к), где је т (к) полином и с (к) / к (к) је рационална функција.

Делимична фракција је било која исправна функција полинома, чији је именилац форме (ак + б)н о (секира2+ бк + ц)н, ако је полиномска секира2 + бк + ц нема стварне корене, а н је природни број.

Да би се преписала рационална функција у парцијалним фракцијама, прва ствар коју треба урадити је да се именитељ к (к) факторизира као производ линеарних и / или квадратних фактора. Када се то уради, одређују се парцијалне фракције, које зависе од природе наведених фактора.

Цасес

Разматрамо неколико случајева одвојено.

Случај 1

Фактори к (к) су линеарни и ниједан се не понавља. То је:

к (к) = (а1к + б1) (а2к + б2) ... (аск + бс)

Тамо, линеарни фактор није идентичан другом. Када дође до овог случаја написаћемо:

п (к) / к (к) = А1/ (а1к + б1) + А2/ (а2к + б2) ... + Ас/ (аск + бс).

Вхере А1,А2,..., Ас су константе које желите да пронађете.

Пример

Желимо да рационалну функцију разложимо на једноставне фракције:

(к - 1) / (к3+3к2+2к)

Прелазимо на факторизацију имениоца, то јест:

к3 + 3к2 + 2к = к (к + 1) (к + 2)

Затим:

(к - 1) / (к3+3к2+2к) = (к - 1) / к (к + 1) (к + 2)

(к - 1) / к (к + 1) (к + 2) = А / к + Б / (к + 1) + Ц / (к + 2)

Примјеном најмање заједничког вишеструког, можете добити:

к - 1 = А (к + 1) (к + 2) + Б (к + 2) к + Ц (к + 1) к.

Желимо да добијемо вредности константи А, Б и Ц, које се могу наћи заменом корена који поништавају сваки од термина. Замењујући 0 за к имамо:

0 - 1 = А (0 + 1) (0 + 2) + Б (0 + 2) 0 + Ц (0 + 1) 0.

- 1 = 2А

А = - 1/2.

Замена - 1 за к имамо:

- 1 - 1 = А (- 1 + 1) (- 1 + 2) + Б (- 1 + 2) (- 1) + Ц (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - Б

Б = 2.

Замена - 2 за к имамо:

- 2 - 1 = А (- 2 + 1) (- 2 + 2) + Б (- 2 + 2) (- 2) + Ц (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2Ц

Ц = -3/2.

На тај начин се добијају вредности А = -1/2, Б = 2 и Ц = -3/2..

Постоји још један метод за добијање вредности А, Б и Ц. Ако је на десној страни једначине к - 1 = А (к + 1) (к + 2) + Б (к + 2) к + Ц (к +) 1) к комбинујемо појмове, имамо:

к - 1 = (А + Б + Ц) к2 + (3А + 2Б + Ц) к + 2А.

Пошто је ово једнакост полинома, имамо да су коефицијенти леве стране једнаки онима на десној страни. Ово резултира следећим системом једначина:

А + Б + Ц = 0

3А + 2Б + Ц = 1

2А = - 1

При решавању овог система једначина добијамо резултате А = -1/2, Б = 2 и Ц = -3/2.

Коначно, замјењујући добивене вриједности морамо:

(к - 1) / к (к + 1) (к + 2) = - 1 / (2к) + 2 / (к + 1) - 3 / (2 (к + 2)).

Случај 2

Фактори к (к) су сви линеарни, а неки се понављају. Претпоставимо да је (ак + б) фактор који се понавља "с"; онда, на овај фактор одговара сума "с" парцијалних фракција.

Ас/ (ак + б)с + Ас-1/ (ак + б)с-1 +... + А1/ (ак + б).

Где је Ас,Ас-1,..., А1 оне су константе које треба одредити. Следећим примером ћемо показати како да одредимо ове константе.

Пример

Разлагање у парцијалне фракције:

(к - 1) / (к2(к - 2)3)

Пишемо рационалну функцију као суму парцијалних фракција на следећи начин:

(к - 1) / (к2(к - 2)3) = А / к2 + Б / к + Ц / (к - 2)3 + Д / (к - 2)2 + Е / (к - 2).

Затим:

к - 1 = А (к - 2)3 + Б (к - 2)3к + Цк2 + Д (к - 2) к2 + Е (к - 2)2к2

Замењујући 2 за к, морамо:

7 = 4Ц, то јест, Ц = 7/4.

Замењујући 0 за к имамо:

- 1 = -8А или А = 1/8.

Замјењујући ове вриједности у претходној једнаџби и развијајући, морамо:

к - 1 = 1/8 (к3 - 6к2 + 12к - 8) + Бк (к3 - 6к2 + 12к - 8) + 7 / 4к2 +Дк3 - 2Дк2 + Ек2(к2 - 4к + 4)

к - 1 = (Б + Е) к4 + (1/8 - 6Б + Д - 4Е) к3 + (- ¾ + 12Б + 7/4 - 2Д + 4Е) к2 +(3/2 - 8Б) к - 1.

Одговарајући коефицијенти добијамо следећи систем једначина:

Б + Е = 0;

1/8 - 6Б + Д - 4Е = 1;

- 3/4 + 12Б + 7/4 - 2Д + 4Е = 0

3/2 - 8Б = 0.

Решавајући систем, имамо:

Б = 3/16; Д = 5/4; Е = - 3/16.

Због тога морамо:

(к - 1) / (к2(к - 2)3) = (1/8) / к2 + (3/16) / к + (7/4) / (к - 2)3 + (5/4) / (к - 2)2 - (3/16) / (к - 2).

Случај 3

Фактори к (к) су квадратне линеарне, без квадратног фактора који се понавља. У овом случају квадратни фактор (сјекира2 + бк + ц) одговара парцијалној фракцији (Ак + Б) / (ак)2 + бк + ц), где су константе А и Б оне које желите да одредите.

Следећи пример показује како поступити у овом случају

Пример

Разложите на једноставне фракције а (к + 1) / (к3 - 1).

Прво прелазимо на фактор имениоца, који нам даје као резултат:

(к - 1) = (к - 1) (к + к +1).

Видимо да (к2 + к + 1) је неумањиви квадратни полином; то јест, нема праве корене. Његова декомпозиција на парцијалне фракције биће следећа:

(к + 1) / (к - 1) (к2 + к +1) = А / (к - 1) + (Бк + Ц) / (к2 + к +1)

Из овога добијамо следећу једначину:

к + 1 = (А + Б) к2 +(А - Б + Ц) к + (А - Ц)

Користећи једнакост полинома добијамо следећи систем:

А + Б = 0;

А - Б + Ц = 1;

А - Ц = 1;

Из овог система имамо А = 2/3, Б = - 2/3 и Ц = 1/3. Замењујући, морамо:

(к + 1) / (к - 1) (к2 + к +1) = 2/3 (к - 1) - (2к + 1) / 3 (к2 + к +1).

Случај 4

Коначно, случај 4 је онај у коме су фактори к (к) линеарни и квадратни, где се неки од линеарних квадратних фактора понављају.

У овом случају, да2 + бк + ц) је квадратни фактор који се понавља "с" пута, затим парцијална фракција која одговара фактору (ак)2 + бк + ц) ће бити:

(А1к + Б) / (секира2 + бк + ц) + ... + (Ас-1к + Бс-1) / (секира)2 + бк + ц)с-1 + (Аск + Бс) / (секира)2 + бк + ц)с

Где је Ас, Ас-1,..., А и Бс, Бс-1,..., Б су константе које желите да одредите.

Пример

Желимо да разбијемо следећу рационалну функцију на парцијалне фракције:

(к - 2) / (к (к2 - 4к + 5)2)

Лике к2 - 4к + 5 је несводив квадратни фактор, имамо да је његова декомпозиција у парцијалне фракције дата:

(к - 2) / (к (к2 - 4к + 5)2) = А / к + (Бк + Ц) / (к2 - 4к + 5) + (Дк + Е) / (к2 - 4к + 5)2

Поједностављујући и развијајући, имамо:

к - 2 = А (к2 - 4к + 5)2 + (Бк + Ц) (к2 - 4к + 5) к + (Дк + Е) к

к - 2 = (А + Б) к4 + (- 8А - 4Б + Ц) к3 + (26А + 5Б - 4Ц + Д) к2 + (+ 40А + 5Ц + Е) к + 25А.

Из наведеног имамо следећи систем једначина:

А + Б = 0;

- 8А - 4Б + Ц = 0;

26А + 5Б - 4Ц + Д = 0;

- 40А + 5Ц + Е = 1;

25А = 2.

Приликом решавања система морамо:

А = - 2/25, Б = 2/25, Ц = - 8/25, Д = 2/5 и Е = - 3/5.

Приликом замене добијених вредности имамо:

(к - 2) / (к (к2 - 4к + 5)2= = 2 / 25к + (2к - 8) / 25 (к2 - 4к + 5) + (2к - 3) / 5 (к2 - 4к + 5)2

Апплицатионс

Свеобухватни прорачун

Парцијалне фракције се углавном користе за проучавање интегралног рачуна. У наставку ћемо видјети неке примјере како направити интеграле користећи дјеломичне фракције.

Пример 1

Желимо да израчунамо интеграл од:

Можемо да видимо да именилац к (к) = (т + 2)2(т + 1) се састоји од линеарних фактора где се једно од ових понавља; за ово смо у случају 2.

Морамо:

1 / (т + 2)2(т + 1) = А / (т + 2)2 +Б / (т + 2) + Ц / (т + 1)

Преписујемо једначину и имамо:

1 = А (т + 1) + Б (т + 2) (т + 1) + Ц (т + 2)2

Ако је т = - 1, морамо:

1 = А (0) + Б (1) (0) + Ц (1)

1 = Ц

Ако је т = - 2, то нам даје:

1 = А (- 1) + Б (0) (- 1) + Ц (0)

А = - 1

Онда, ако је т = 0:

1 = А (1) + Б (2) (1) + Ц (2)

Замена вредности А и Ц:

1 = - 1 + 2Б + 4

1 = 3 + 2Б

2Б = - 2

Из наведеног имамо да је Б = - 1.

Преписујемо интеграл као:

Настављамо да га решавамо методом супституције:

Резултат је:

Пример 2

Решите следећи интегрални:

У овом случају можемо фактор на к (к) = к2 - 4 као к (к) = (к - 2) (к + 2). Јасно је да смо у случају 1. Стога:

(5к - 2) / (к - 2) (к + 2) = А / (к - 2) + Б / (к + 2)

Може се изразити и као:

5к - 2 = А (к + 2) + Б (к - 2)

Ако је к = - 2, имамо:

- 12 = А (0) + Б (- 4)

Б = 3

А ако је к = 2:

8 = А (4) + Б (0)

А = 2

Дакле, морамо ријешити дати интегрални еквивалент ријешити:

То нам даје резултат:

Пример 3

Решите интеграл:

Имамо к (к) = 9к4 + к2 , да можемо фактор у к (к) = к2(9к2 + 1).

Овом приликом имамо поновљени линеарни фактор и квадратни фактор; то јест, ми смо у случају 3.

Морамо:

1 / к2(9к2 + 1) = А / к2 + Б / к + (Цк + Д) / (9к2 + 1)

1 = А (9к2 + 1) + Бк (9к2 + 1) + Цк2 + Дк2

Груписањем и коришћењем једнакости полинома, имамо:

1 = (9Б + Ц) к + (9А + Д) к + Бк + А

А = 1;

Б = 0;

9А + Д = 0;

9Б + Ц = 0

Из овог система једначина морамо:

Д = - 9 и Ц = 0

На овај начин имамо:

Рјешавајући горе наведено, имамо:

Закон масовне акције

Интересантна примена парцијалних фракција примењених на интегрални рачун налази се у хемији, тачније у закону о масовном деловању.

Претпоставимо да имамо две супстанце А и Б, које се спајају и формирају супстанцу Ц, тако да је дериват количине Ц у односу на време пропорционалан производу количина А и Б у сваком датом тренутку.

Закон масовне акције можемо изразити на следећи начин:

У овом изразу α је почетна количина грама која одговара А и β почетној количини грама која одговара Б.

Поред тога, р и с представљају број грама А и Б који се комбинују тако да формирају р + с грама Ц. За свој део, к представља број грама супстанце Ц у тренутку т, а К је константу пропорционалности. Горња једначина се може преписати као:

Уношење следеће промене:

Имамо да једначина постане:

Из овог израза можемо добити:

Где да а, б, за интеграцију се могу користити парцијалне фракције.

Пример

Узмимо, на пример, супстанцу Ц која настаје из комбиновања супстанце А са Б, на такав начин да се задовољи закон маса где су вредности а и б 8 и 6 респективно. Дајте једначину која нам даје вредност грама Ц као функцију времена.

Замењујући вредности у датом масовном закону, имамо:

Када раздвајамо променљиве имамо:

Овде се 1 / (8 - к) (6 - к) може записати као сума парцијалних фракција, као што следи:

Дакле, 1 = А (6 - к) + Б (8 - к)

Ако заменимо к за 6, имамо да је Б = 1/2; и замењујући к за 8, имамо А = - 1/2.

Интегрисањем делимичним фракцијама имамо:

То нам даје резултат:

Диференцијалне једначине: логистичка једначина

Друга апликација која се може дати парцијалним фракцијама је у логистичкој диференцијалној једнаџби. У једноставним моделима имамо да је стопа раста популације пропорционална њеној величини; то јест:

Овај случај је идеалан и сматра се реалним све док се не деси да су ресурси доступни у систему недовољни за одржавање популације.

У тим ситуацијама је разумније мислити да постоји максимални капацитет, који ћемо назвати Л, који систем може да издржи, и да је стопа раста пропорционална величини популације помножена са расположивом величином. Овај аргумент води до следеће диференцијалне једначине:

Овај израз се зове логистичка диференцијална једначина. То је одвојива диференцијална једначина која се може решити методом интеграције парцијалним фракцијама.

Пример

Примјер би био разматрање популације која расте према сљедећој логистичкој диференцијалној једнаџби и '= 0,0004и (1000 - и), чији су почетни подаци 400. Желимо знати величину популације у времену т = 2, гдје је т мјерен у годинама.

Ако напишемо а и 'са Леибнизовом нотацијом као функцијом која зависи од т, морамо:

Интеграл леве стране може се решити методом интеграције парцијалних фракција:

Ова последња једнакост може се поново написати на следећи начин:

- Заменом и = 0 имамо А једнако 1/1000.

- Заменом и = 1000 имамо да је Б једнако 1/1000.

Са овим вредностима интеграл је остављен на следећи начин:

Решење је:

Користећи почетне податке:

Када избришете и оставимо:

Онда имамо то код т = 2:

Закључно, након 2 године величина популације је око 597,37.

Референце

  1. А, Р. А. (2012). Математика 1. Универзитет Анда. Публицатион Цоунцил.
  2. Цортез, И., & Санцхез, Ц. (с.ф.). 801 решених интеграла. Национални експериментални универзитет Тацхира.
  3. Леитхолд, Л.. ИЗРАЧУН са аналитичком геометријом. ХАРЛА, С.А.
  4. Пурцелл, Е.Ј., Варберг, Д., & Ригдон, С.Е. (2007). Цалцулатион. Мексико: Пеарсон Едуцатион.
  5. Саенз, Ј. (с.ф.). Свеобухватни рачун. Хипотенусе.