Како доћи до подручја Пентагона?

Тхе израчунава се површина пентагона методом познатом као триангулација, која се може применити на било који полигон. Овај метод се састоји у подели пентагона на неколико троуглова.

Након тога се израчунава површина сваког троугла и на крају се додају сва пронађена подручја. Резултат ће бити подручје пентагона.

Пентагон се такође може поделити на друге геометријске облике, као што су трапез и троугао, као на слици десно.

Проблем је у томе што није лако израчунати дужину главне базе и висину трапеза. Осим тога, морате израчунати висину црвеног трокута.

Како израчунати површину пентагона?

Општи метод за израчунавање површине пентагона је триангулација, али метода може бити директна или мало дужа у зависности од тога да ли је пентагон правилан или не..

Подручје регуларног пентагона

Прије израчунавања површине потребно је знати који је апотхем.

Апотем регуларног петерокута (правилан полигон) је најмања удаљеност од центра петерокута (полигона) до средине једне стране петерокута (полигона).

Другим речима, апотхем је дужина сегмента линије који иде од центра пентагона до средине стране.

Размотрите регуларни петерокут тако да је дужина његових страна "Л". Да бисте израчунали апотем, прво поделите централни угао α између броја страна, тј. Α = 360º / 5 = 72º.

Сада, користећи тригонометријске односе, дужина апотеме се израчунава као што је приказано на следећој слици.

Према томе, апотхем има дужину Л / 2 тан (36 °) = Л / 1,45.

Када направите триангулацију пентагона, добићете фигуру као што је она испод.

Пет троуглова има исту област (зато што је то редован петерокут). Према томе, површина петерокута је 5 пута већа од површине троугла. То је: подручје петерокута = 5 * (Л * ап / 2).

Замјењујући вриједност апотема, добијамо да је површина А = 1.72 * Л².

Стога, да бисте израчунали површину регуларног петерокута, морате знати само дужину једне стране.

Подручје неправилног петерокута

Почиње од неправилног петерокута, тако да су његове стране дужине Л1, Л2, Л3, Л4 и Л5. У овом случају, апотхем се не може користити онако како се раније користио.

Након што урадите триангулацију добићете фигуру као што је следеће:

Сада настављамо да цртамо и израчунавамо висину ових 5 унутрашњих троуглова.

Тада су области унутрашњих троуглова Т1 = Л1 * х1 / 2, Т2 = Л2 * х2 / 2, Т3 = Л3 * х3 / 2, Т4 = Л4 * х4 / 2 и Т5 = Л5 * х5 / 2.

Вредности које одговарају х1, х2, х3, х4 и х5 су висине сваког троугла.

Коначно, подручје пентагона је збир ових 5 подручја. То јест, А = Т1 + Т2 + Т3 + Т4 + Т5.

Као што видите, израчунавање површине неправилног петерокута је сложеније од израчунавања површине регуларног петерокута.

Детерминанта Гаусса

Постоји још један метод којим можете израчунати површину било којег неправилног полигона, познату као Гауссову детерминанту.

Овај метод се састоји од цртања полигона у картезијанској равни, затим се израчунавају координате сваког врха.

Врхови су наведени у супротном смеру, и коначно, одређене детерминанте су израчунате да би се на крају добила површина дотичног полигона.

Референце

1. Алекандер, Д.Ц., & Коеберлеин, Г. М. (2014). Елементарна геометрија за студенте. Ценгаге Леарнинг.
2. Артхур Гоодман, Л.Х. (1996). Алгебра и тригонометрија са аналитичком геометријом. Пеарсон Едуцатион.
3. Лофрет, Е.Х. (2002). Књига табела и формула / Књига таблица множења и формула. Имагинатор.
4. Палмер, Ц. И., & Бибб, С. Ф. (1979). Практична математика: аритметика, алгебра, геометрија, тригонометрија и правило слајда (репринт ед.). Реверте.
5. Посаментиер, А.С., & Баннистер, Р. Л. (2014). Геометрија, њени елементи и структура: друго издање. Цоуриер Цорпоратион.
6. Куинтеро, А.Х., & Цостас, Н. (1994). Геометри. Уводник, УПР.
7. Руиз, А., & Баррантес, Х. (2006). Геометриес. Уводник Тецнологица де ЦР.
8. Торах, Ф. Б. (2013). Математика Прва дидактичка јединица ЕСО, Том 1. Едиториал Университи Цлуб.
9. Викуез, М., Ариас, Р., & Араиа, Ј. (с.ф.). Математика (шеста година). ЕУНЕД.