Израчунавање апроксимација помоћу диференцијала

У математици је апроксимација број који није тачна вредност нечега, али је толико близу да се сматра корисним као тачна вредност.

Када се апроксимације израђују у математици, то је зато што је ручно тешко (или понекад немогуће) знати тачну вредност онога што се тражи.

Главни алат при раду са апроксимацијама је разлика функције.

Диференцијал функције ф, означен са Δф (к), није ништа више него деривација функције ф помножена са променом независне променљиве, тј. Δф (к) = ф '(к) * Δк.

Понекад се користе дф и дк уместо Δф и Δк.

Приступи помоћу диференцијала

Формула која се примењује да би се направила апроксимација преко диференцијала настаје управо из дефиниције деривата функције као границе.

Ова формула је дата:

ф (к) ≈ ф (к0) + ф '(к0) * (к-к0) = ф (к0) + ф' (к0) * Δк.

Овде се подразумева да је Δк = к-к0, дакле к = к0 + Δк. Користећи ову формулу можете поново написати као

ф (к0 + Δк) ≈ ф (к0) + ф '(к0) * Δк.

Треба напоменути да "к0" није произвољна вриједност, већ је вриједност таква да је ф (к0) лако позната; Поред тога, "ф (к)" је само вредност коју желимо да приближимо.

Има ли бољих апроксимација?

Одговор је да. Претходни је најједноставнији од апроксимација названих "линеарна апроксимација".

За боље апроксимације квалитета (грешка је мања) користе се полиноми са више деривата названим "Таилоров полиноми", као и друге нумеричке методе као што је Невтон-Рапхсонова метода..

Стратегија

Стратегија коју треба слиједити је:

- Изаберите одговарајућу функцију ф да бисте извршили апроксимацију и вредност "к" тако да је ф (к) вредност коју желите да приближите.

- Изаберите вредност "к0", близу "к", тако да је ф (к0) лако израчунати.

- Израчунајте Δк = к-к0.

- Израчунајте деривацију функције и ф '(к0).

- Замените податке у формули.

Решене вежбе апроксимације

У наставку постоји низ вјежби у којима се апроксимације израђују помоћу диференцијала.

Прва вежба

Приближно .3.

Решење

Пратећи стратегију, мора се изабрати одговарајућа функција. У овом случају може се видети да функција коју треба изабрати мора бити ф (к) = андк и приближна вредност је ф (3) = √3.

Сада морамо изабрати вредност "к0" близу "3" тако да је ф (к0) лако израчунати. Ако одаберете "к0 = 2" имате да је "к0" близу "3", али ф (к0) = ф (2) = ис2 није лако израчунати.

Вредност "к0" која је погодна је "4", јер "4" је близу "3" и такође ф (к0) = ф (4) = =4 = 2.

Ако је "к = 3" и "к0 = 4", онда је Δк = 3-4 = -1. Сада прелазимо на израчунавање деривата ф. То је, ф '(к) = 1/2 * √к, тако да је ф' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Замењујући све вредности у формули добијате:

=3 = ф (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Ако се користи калкулатор, добија се да ≈3≈1.73205 ... То показује да је претходни резултат добра апроксимација реалне вредности.

Друга вежба

Приближно .10.

Решење

Као и раније изабрана је као функција ф (к) = андк, ау овом случају к = 10.

Вредност к0 која се мора изабрати у овој прилици је "к0 = 9". Затим имамо да је Δк = 10-9 = 1, ф (9) = 3 и ф '(9) = 1/2 1/29 = 1/2 * 3 = 1/6.

Када процењујете у формули, добијате то

=10 = ф (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...

Помоћу калкулатора добијате да је 10 ≈ 3.1622776 ... Овде такође можете видети да је добра процена добијена пре.

Трећа вежба

Приближно ³√10, где ³√ означава кубни корен.

Решење

Јасно је да функција коју треба користити у овој вјежби је ф (к) = ³√к и вриједност "к" мора бити "10".

Вредност која је близу "10", тако да је познат њен корен коцке је "к0 = 8". Тада имамо Δк = 10-8 = 2 и ф (к0) = ф (8) = 2. Такодје имамо да је ф '(к) = 1/3 * ³к², и сходно томе ф' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Замењујући податке у формули, добија се да:

³√10 = ф (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ... .

Калкулатор каже да ³√10 ≈ 2.15443469 ... Дакле, пронађена апроксимација је добра.

Четврта вежба

Приближно лн (1.3), где "лн" означава природну логаритамску функцију.

Решење

Прво, изабрана је функција ф (к) = лн (к) и вредност "к" је 1.3. Сада, знајући мало о логаритамској функцији, можемо знати да је лн (1) = 0, а такође и "1" близу "1.3". Зато је изабрано "к0 = 1" и тако Δк = 1.3 - 1 = 0.3.

С друге стране ф '(к) = 1 / к, тако да је ф' (1) = 1. Када процењујете у датој формули морате:

лн (1.3) = ф (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

Када користите калкулатор морате лн (1.3) ≈ 0.262364 ... Дакле, направљена апроксимација је добра.

Референце

1. Флеминг, В., & Варберг, Д.Е. (1989). Прецалцулус Матхематицс. Прентице Халл ПТР.
2. Флеминг, В., & Варберг, Д.Е. (1989). Прецалцулус математика: приступ рјешавању проблема (2, Иллустратед ед.). Мицхиган: Прентице Халл.
3. Флеминг, В., & Варберг, Д. (1991). Алгебра и тригонометрија са аналитичком геометријом. Пеарсон Едуцатион.
4. Ларсон, Р. (2010). Прецалцулус (8 ед.). Ценгаге Леарнинг.
5. Леал, Ј.М., & Вилориа, Н.Г. (2005). Флат Аналитицал Геометри. Мерида - Венецуела: Уводник Венезолана Ц. А.
6. Перез, Ц.Д. (2006). Прецалцулус. Пеарсон Едуцатион.
7. Пурцелл, Е.Ј., Варберг, Д., & Ригдон, С.Е. (2007). Цалцулатион (Девето издање). Прентице Халл.
8. Саенз, Ј. (2005). Диференцијални рачун са раним трансценденталним функцијама за науку и инжењерство (Друго издање изд.). Хипотенусе.
9. Сцотт, Ц. А. (2009). Картезијанска геометрија равни, део: аналитичка коника (1907) (репринт ед.). Извор муње.
10. Сулливан, М. (1997). Прецалцулус. Пеарсон Едуцатион.