Решена су значајна објашњења производа и вјежбе



Тхе изванредни производи то су алгебарске операције, где се изражавају мултипликације полинома, које се не морају традиционално решавати, али уз помоћ одређених правила можете наћи резултате.

Полиноми се множе сами, па стога могу имати велики број термина и варијабли. Да би се тај процес скратио, користе се правила изузетних производа, који дозвољавају да се множења врше без потребе за одласком по терминима..

Индек

  • 1 Значајни производи и примјери
    • 1.1 Биномни квадрат
    • 1.2 Производ коњугованих биномала
    • 1.3 Производ два биномна са заједничким термином
    • 1.4 Полинома на квадрат
    • 1.5 Биномна коцка
    • 1.6 Канта триномије
  • 2 Вежбе решене за изванредне производе
    • 2.1 Вежба 1
    • 2.2 Вежба 2
  • 3 Референце

Значајни производи и примери

Сваки изузетан производ је формула која произилази из факторизације, састављене од полинома различитих појмова као што су биномали или триномијали, који се називају фактори.

Фактори су основа моћи и имају експонент. Када се фактори множе, додају се експоненти.

Постоји неколико изузетних формула производа, неке су више коришћене од других, у зависности од полинома, и оне су следеће:

Биномиал скуаред

То је умножавање биномног по себи, изражено у облику моћи, где се термини додају или одузимају:

а. Биномна сума на квадрат: једнак је квадрату првог термина, плус двоструки производ термина, плус квадрат другог термина. Изражава се на следећи начин:

(а + б)2 = (а + б) * (а + б).

Следећа слика показује како је производ развијен у складу са горе наведеним правилом. Резултат се зове триномиј савршеног квадрата.

Пример 1

(к + 5) ² = к² + 2 (к * 5) + 5²

(к + 5) ² = к² + 2 (5к) + 25

(к + 5) ² = к² + 10к + 25.

Пример 2

(4а + 2б) = (4а)2 + 2 (4а * 2б) + (2б)2

(4а + 2б) = 8а2 + 2 (8аб) + 4б2

(4а + 2б) = 8а2 + 16 аб + 4б2.

б. Биномиј квадрата за одузимање: исто правило важи и за биномски збир, само да је у овом случају други термин негативан. Његова формула је следећа:

(а - б)2 = [(а) + (- б)]2

(а - б)2 = а2 +2а * (-б) + (-б)2

(а - б)2  = а2 - 2аб + б2.

Пример 1

(2к - 6)2 = (2к)2 - 2 (2к * 6) + 62

(2к - 6)2  = 4к2 - 2 (12к) + 36

(2к - 6)2 = 4к2 - 24к + 36.

Производ коњугованих биномала

Два биномна су коњугована када су други појмови сваког различитог знака, то јест, од првог је позитиван а други негатив или обрнуто. Решите подизањем сваког мономског квадрата и одузимањем. Његова формула је следећа:

(а + б) * (а - б)

На следећој слици је развијен производ два коњугована биномала, где се види да је резултат разлика квадрата..

Пример 1

(2а + 3б) (2а - 3б) = 4а2 + (-6аб) + (6 аб) + (-9б)2)

(2а + 3б) (2а - 3б) = 4а2 - 9б2.

Производ два биномна са заједничким термином

То је један од најсложенијих и мало коришћених изванредних производа јер је умножавање два биномна која имају заједнички термин. Правило означава следеће:

  • Квадрат заједничког термина.
  • Плус додајте термине који нису уобичајени и затим их помножите са заједничким термином.
  • Плус сума множења термина који нису уобичајени.

Представљена је у формули: (к + а) * (к + б) и развијен је како је приказано на слици. Резултат је квадратни триномијус који није савршен.

(к + 6) * (к + 9) = к2 + (6 + 9) * к + (6 * 9)

(к + 6) * (к + 9) = к2 + 15к + 54.

Постоји могућност да је други термин (различити термин) негативан, а његова формула је следећа: (к + а) * (к - б).

Пример 2

(7к + 4) * (7к - 2) = (7к * 7к) + (4 - 2)* 7к + (4 * -2)

(7к + 4) * (7к - 2) = 49к2 + (2)* 7к - 8

(7к + 4) * (7к - 2) = 49к2 + 14к - 8.

Може се десити да су оба различита термина негативна. Његова формула ће бити: (к - а) * (к - б).

Пример 3

(3б - 6) * (3б - 5) = (3б * 3б) + (-6 - 5)* (3б) + (-6 * -5)

(3б - 6) * (3б - 5) = 9б2 + (-11) * (3б) + (30)

(3б - 6) * (3б - 5) = 9б2 - 33б + 30.

Скуаре полиномиал

У овом случају постоји више од два термина и да се развију, сваки је квадратан и додан заједно са двоструким умножавањем једног термина са другим; његова формула је: (а + б + ц)2 а резултат операције је триномијални квадрат.

Пример 1

(3к + 2и + 4з)2 = (3к)2 + (2и)2 + (4з)2 + 2 (6ки + 12кз + 8из)

(3к + 2и + 4з)2 = 9к2 + 4и2 + 16з2 + 12ки + 24кз + 16из.

Биномна коцка

То је изузетан комплексан производ. Да би га развио, помножите биномиј са његовим квадратом, на следећи начин:

а. За бином у коцки сума:

  • Коцка првог термина, плус троструки квадрат првог термина за други.
  • Плус троструки први термин, за други квадрат.
  • Плус коцка другог термина.

(а + б)3 = (а + б) * (а + б)2

(а + б)3 = (а + б) * (а2 + 2аб + б2)

(а + б)3 = а3 + 2а2б + аб2 + ба2 + 2аб2 + б3

(а + б)3 = а3 + 3а2б + 3аб2 + б3.

Пример 1

(а + 3)3 = а3 + 3 (а)2*(3) + 3 (а)*(3)2 + (3)3

(а + 3)3 = а3 + 3 (а)2*(3) + 3 (а)*(9) + 27

(а + 3)3 = а3 + 9 а2 + 27а + 27.

б. За биномијалну коцку одузимања:

  • Коцка првог термина, умањена за троструки квадрат првог термина за други.
  • Плус троструки први термин, за други квадрат.
  • Мање коцке другог термина.

(а - б)3 = (а - б) * (а - б)2

(а - б)3 = (а - б) * (а2 - 2аб + б2)

(а - б)3 = а3 - 2а2б + аб2 - ба2 + 2аб2 - б3

(а - б)3 = а3 - 3а2б + 3аб2 - б3.

Пример 2

(б - 5)3 = б3 + 3 (б)2*(-5) + 3 (б)*(-5)2 + (-5)3

(б - 5)3 = б3 + 3 (б)2*(-5) + 3 (б)*(25) -125

(б - 5)3 = б3 - 15б2 +75б - 125.

Канта триномије

Развија се множењем са квадратом. То је изванредан производ који је веома обиман, јер постоје 3 термина подигнута у коцку, плус три пута сваки по један квадрат, помножен са сваким од термина, плус шест пута производ три термина. Гледано на бољи начин:

(а + б + ц)3 = (а + б + ц) * (а + б + ц)2

(а + б + ц)3 = (а + б + ц) * (а2 + б2 + ц2 + 2аб + 2ац + 2бц)

(а + б + ц)3 = А3 + б3 + ц3 + 3а2б + 3аб2 + 3а2ц + 3ац2 + 3б2ц + 3бц2 + 6абц.

Пример 1

Решене вежбе изузетних производа

Вежба 1

Израдите следећи бином у коцки: (4к - 6)3.

Решење

Позивајући се да је бином на коцки једнак првом термину уздигнутом на коцку, мање троструком квадрату првог термина за други; плус троструки први термин, за други квадрат, минус коцка другог термина.

(4к - 6)3 = (4к)3 - 3 (4к)2(6) + 3 (4к) * (6)2 - (6)2

(4к - 6)3 = 64к3 - 3 (16к2(6) + 3 (4к)* (36) - 36

(4к - 6)3 = 64к3 - 288к2 + 432к - 36.

Вежба 2

Развијте следећи бином: (к + 3) (к + 8).

Решење

Постоји бином, где постоји заједнички термин, који је к, а други је позитиван. Да бисте га развили, морате само да квадрирате заједнички термин, плус збир термина који нису уобичајени (3 и 8), а затим их помножите са заједничким термином, плус суму множења термина који нису уобичајени.

(к + 3) (к + 8) = к2 + (3 + 8) к + (3*8)

(к + 3) (к + 8) = к2 + 11к + 24.

Референце

  1. Ангел, А.Р. (2007). Елементари Алгебра. Пеарсон Едуцатион,.
  2. Артхур Гоодман, Л.Х. (1996). Алгебра и тригонометрија са аналитичком геометријом. Пеарсон Едуцатион.
  3. Дас, С. (с.ф.). Матхс Плус 8. Велика Британија: Ратна Сагар.
  4. Јероме Е. Кауфманн, К. Л. (2011). Елементарна и средња алгебра: комбиновани приступ. Флорида: Ценгаге Леарнинг.
  5. Перез, Ц.Д. (2010). Пеарсон Едуцатион.