Хомотхети својства, типови и примјери

Тхе хомотециа је геометријска промена у равни где, из фиксне тачке која се зове центар (О), растојања се множе заједничким фактором. На тај начин свака тачка П одговара другој тачки П 'продукта трансформације, а оне су поравнате са тачком О.

Онда, хомотеја је кореспонденција између две геометријске фигуре, где се трансформисане тачке називају хомотетским, и оне су поравнате са фиксном тачком и са сегментима паралелним један са другим..

Индек

• 1 Хомотециа
• 2 Својства
• 3 Типови
  • 3.1 Директна хомотетија
  • 3.2 Обрнута хомотхети
• 4 Композиција
• 5 Примери
  • 5.1 Први пример
  • 5.2 Други пример
• 6 Референце

Хомотхети

Хомотетија је трансформација која нема конгруентну слику, јер ће из фигуре бити добијена једна или више фигура веће или мање величине од оригиналне фигуре; то јест, да хомотхети трансформише полигон у други сличан.

Да би се хомотеја испунила они морају да одговарају тачки до тачке и равно до равне, тако да су парови хомологних тачака поравнати са трећом фиксном тачком, која је центар хомотхети.

Исто тако, парови линија које их спајају морају бити паралелне. Однос између таквих сегмената је константа која се назива однос хомотеја (к); на такав начин да се хомотхети може дефинисати као:

Да би се ова врста трансформације почела бирањем произвољне тачке, која ће бити средиште хомотхети.

Од ове тачке, цртани су сегменти линије за сваку тачку фигуре која се трансформише. Љествица у којој се репродукује нова фигура даје се на основу разлога хомотхети (к).

Пропертиес

Једно од главних својстава хомотхети-а је да су, из разлога хомотхети (к), све хомотетске фигуре сличне. Међу осталим изванредним својствима су:

- Центар хомотеције (О) је једина двострука тачка и трансформише се у себе; то јест, не варира.

- Линије које пролазе кроз центар преображавају се (оне су двоструке), али тачке које чине не дупле.

- Праве које не пролазе кроз центар претварају се у паралелне линије; на овај начин, углови хомотетије остају исти.

- Слика сегмента хомотетијом центра О и односа к, је сегмент паралелан овом и има к пута своју дужину. На пример, као што се види на следећој слици, сегмент АБ по хомотетици ће резултирати другим сегментом А'Б ', тако да ће АБ бити паралелан са А'Б' и к ће бити:

- Хомотетички углови су подударни; то јест, они имају исту мјеру. Дакле, слика кута је угао који има исту амплитуду.

С друге стране, хомотхети варира у зависности од вредности његовог односа (к), и могу се појавити следећи случајеви:

- Ако је константа к = 1, све тачке су фиксне јер се саме трансформишу. Дакле, хомотетска фигура се поклапа са оригиналом и трансформација ће се звати функција идентитета.

- Ако је к, 1, једина фиксна тачка биће средиште хомотхети (О).

- Ако је к = -1, хомотеја постаје централна симетрија (Ц); то јест, ротација око Ц ће се десити под углом од 180^о.

- Ако је к> 1, величина трансформисане фигуре ће бити већа од величине оригинала.

- Да 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Да -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Ако к < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

Типови

Хомотхети се такође може класификовати у два типа, у зависности од вредности његовог односа (к):

Дирецт хомотхети

То се дешава ако је константа к> 0; то јест, хомотетичке тачке су на истој страни у односу на центар:

Фактор пропорционалности или однос сличности између директних хомотетичних фигура ће увек бити позитиван.

Реверсе хомотхетиц

То се дешава ако је константа к < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Фактор пропорционалности или однос сличности између хомотетских инверзних фигура ће увек бити негативан.

Цомпоситион

Када је неколико покрета направљено сукцесивно, све док се не добије фигура која је једнака оригиналу, појављује се састав покрета. Композиција неколико покрета је такође покрет.

Композиција између две хомотеци резултира у новој хомотеци; то јест, имамо хомотетски производ у коме ће центар бити усклађен са центром две оригиналне трансформације, а однос (к) је производ два разлога..

Дакле, у саставу два Х хомотеца₁(Ор₁, к₁) и Х₂(Ор₂, к₂), множењем ваших разлога: к₁ к к₂ = 1 ће резултирати у хомотхети од односа к₃ = К₁ к к₂. Средиште ове нове хомотхети (О₃) ће се налазити на О равно₁ О₂.

Хомотетија одговара равној и неповратној промени; ако се примене две хомотеце које имају исти центар и однос али са другачијим знаком, добија се оригинална цифра.

Примери

Први примјер

Применити хомотеју према датом централном полигону (О), који се налази 5 цм од тачке А и чији је однос к = 0.7.

Решење

Било која тачка је изабрана као средиште хомотетије, а из овог зрака су нацртане од врха фигуре:

Удаљеност од центра (О) до тачке А је ОА = 5; са овим можете одредити растојање једне од хомотетичких тачака (ОА ') знајући такође да је к = 0.7:

ОА '= к к ОА.

ОА '= 0.7 к 5 = 3.5.

Процес се може обавити за сваки врх, или можете нацртати хомотетски полигон који памти да два полигона имају паралелне стране:

Коначно, трансформација изгледа овако:

Други пример

Примените хомотетију на дати среди њи полигон (О), који се налази на 8,5 цм од та ~ ке Ц и ~ ији је и однос к = -2.

Решење

Удаљеност од центра (О) до тачке Ц је ОЦ = 8,5; са овим подацима могуће је одредити растојање једне од хомотетичких тачака (ОЦ '), знајући и да је к = -2:

ОЦ '= к к ОЦ.

ОЦ '= -2 к 8.5 = -17

Након цртања сегмената вертикала трансформисаног полигона, имамо почетне тачке и њихове хомотетике лоциране у супротним крајевима у односу на центар:

Референце

1. Алваро Рендон, А. Р. (2004). Техничко цртање: биљежница активности.
2. Антонио Алварез де ла Роса, Ј.Л. (2002). Афинитет, хомологија и хомотхети.
3. Баер, Р. (2012). Линеарна алгебра и пројектна геометрија. Цоуриер Цорпоратион.
4. Хеберт, И. (1980). Општа математика, вероватноће и статистика.
5. Месерве, Б.Е. (2014). Основни концепти геометрије. Цоуриер Цорпоратион.
6. Нацхбин, Л. (1980). Увод у алгебру. Реверте.