Методе и примјери факторизације

Тхе факторизација је метод којим се полином изражава у облику множења фактора, који могу бити бројеви, слова или обоје. Факторизовати факторе који су заједнички терминима груписани, и на тај начин полином се декомпонује на неколико полинома.

Дакле, када се фактори међусобно множе, резултат је оригинални полином. Факторинг је веома користан метод када имате алгебарске изразе, јер се може претворити у множење неколико једноставних термина; На пример: 2а² + 2аб = 2а _* (а + б).

Постоје случајеви у којима се полином не може факторизирати јер не постоји заједнички фактор између његових термина; дакле, ови алгебарски изрази су дељиви само између себе и са 1. На пример: к + и + з.

У једном алгебарском изразу заједнички фактор је највећи заједнички дјелитељ термина који га чине.

Индек

• 1 Методе факторинга
  • 1.1 Факторинг по заједничком фактору
  • 1.2 Пример 1
  • 1.3 Пример 2
  • 1.4 Факторинг по групирању
  • 1.5 Пример 1
  • 1.6 Факторинг путем инспекције
  • 1.7 Пример 1
  • 1.8 Пример 2
  • 1.9 Факторинг са изванредним производима
  • 1.10 Пример 1
  • 1.11 Пример 2
  • 1.12 Пример 3
  • 1.13 Факторинг са Руффинијевим правилом
  • 1.14 Пример 1
• 2 Референце

Методе факторинга

Постоји неколико метода факторинга, које се примењују у зависности од случаја. Неке од њих су следеће:

Факторинг по заједничком фактору

У овој методи идентификовани су они фактори који су уобичајени; то јест, оне које се понављају у изразима израза. Затим се примењује дистрибутивна особина, уклања се максимални заједнички делитељ и завршава факторизација.

Другим ријечима, заједнички фактор изражавања је идентифициран и сваки термин је подијељен између њега; резултујући термини ће се множити највећим заједничким фактором за изражавање факторизације.

Пример 1

Фактор (б²к) + (б²и).

Решење

Прво постоји заједнички фактор сваког термина, који је у овом случају б², и онда су појмови подијељени између заједничког фактора како слиједи:

(б²к) / б² = к

(б²и) / б² = и.

Факторизација је изражена, множењем заједничког фактора са резултујућим изразима:

(б²к) + (б²и) = б² (к + и).

Пример 2

Фацторизе (2а)²б³) + (3аб²).

Решење

У овом случају имамо два фактора који се понављају у сваком термину који су "а" и "б", и који су повишени на моћ. Да би их факторисали, прво се два термина рашчлањују на њихов дуги облик:

2_*а_*а_*б_*б_*б + 3а_*б_*б

Може се приметити да се фактор "а" понавља само једном у другом термину, а фактор "б" се понавља два пута у њему; тако да у првом термину постоји само 2, фактор "а" и "б"; док је у другом мандату само 3.

Стога, пишемо времена која се "а" и "б" понављају и множе са факторима који остају из сваког термина, као што се види на слици:

Факторизација груписањем

Пошто није у свим случајевима јасно изражен максимални заједнички делитељ полинома, потребно је извршити и друге кораке да бисмо могли поново написати полином и тиме фактор.

Један од ових корака је да се изрази полинома групишу у неколико група, а затим да се користи метода заједничког фактора.

Пример 1

Фактор ац + бц + ад + бд.

Решење

Постоје 4 фактора у којима су два уобичајена: у првом термину је "ц", ау другом је "д". На тај начин два термина су груписана и раздвојена:

(ац + бц) + (оглас + бд).

Сада је могуће примијенити методу заједничког фактора, дијелећи сваки термин својим заједничким фактором, а затим множењем тог заједничког фактора са резултирајућим терминима, као што је овај:

(ац + бц) / ц = а + б

(ад + бд) / д = а + б

ц (а + б) + д (а + б).

Сада добијате биномиј који је заједнички за оба термина. Фактор се множи са преосталим факторима; на тај начин морате:

ац + бц + ад + бд =  (ц + д) _* (а + б).

Факторизација путем инспекције

Овај метод се користи за фактор квадратних полинома, који се називају и триномијама; то јест, они који су структурирани као сјекира² ± бк + ц, где је вредност "а" различита од 1. Овај метод се такође користи када триномиј има облик к² ± бк + ц и вредност "а" = 1.

Пример 1

Фактор к² + 5к + 6.

Решење

Имате квадратни триномиј форме к² ± бк + ц. Прво морате навести два броја која, када се множе, дају резултат "ц" (то јест, 6) и да је његова сума једнака коефицијенту "б", што је 5. Ти бројеви су 2 и 3. :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

На овај начин, израз је поједностављен овако:

(к² + 2к) + (3к + 6)

Сваки термин је факторисан:

- Фор (к² + 2к) извлачи се заједнички термин: к (к + 2)

- За (3к + 6) = 3 (к + 2)

Дакле, израз остаје:

к (к +2) + 3 (к +2).

Пошто имате заједнички биномни, да бисте смањили израз помножите га са вишком термина и морате:

к² + 5к + 6 = (к + 2) _* (к + 3).

Пример 2

Фактор 4а² + 12а + 9 = 0.

Решење

Имате квадратни триномиј форме ак² ± бк + ц и да се фактор све изрази множе са коефицијентом к²; у овом случају, \ т.

4а² + 12а +9 = 0

4а² (4) + 12а (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 а² + 12а (4) + 36 = 0

4² а² + 12а (4) + 36 = 0

Сада морамо да пронађемо два броја која, када се множе заједно, дају као резултат вредност "ц" (која је 36) и да када се зброје резултира у коефицијенту термина "а", који је 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

На овај начин израз се преписује, узимајући у обзир то² а² = 4а _* 4а. Због тога се дистрибутивна имовина примјењује за сваки термин:

(4а + 6) _* (4а + 6).

Коначно, израз је подијељен с коефицијентом од²; то јест, 4:

(4а + 6) _* (4а + 6) / 4 = ((4а + 6) / 2) _* ((4а + 6) / 2).

Израз је следећи:

4а² + 12а +9 = (2а + 3) _* (2а + 3).

Факторинг са изванредним производима

Постоје случајеви у којима, да би се полиноми у потпуности факторисали претходним методама, он постаје веома дуг процес.

Због тога се израз може развити формулама изванредних производа и самим тим процес постаје једноставнији. Међу најчешће кориштеним значајним производима су:

- Разлика између два квадрата: (а² - б²) = (а - б) _* (а + б)

- Савршен квадрат сума: а² + 2аб + б² = (а + б)²

- Савршена квадратна разлика: а² - 2аб + б² = (а - б)²

- Разлика од две коцке: а³ - б³ = (а-б)_*(а² + аб + б²)

- Збир две коцке: а³ - б³ = (а + б) _* (а² - аб + б²)

Пример 1

Фактор (5² - к²)

Решење

У овом случају постоји разлика од два квадрата; стога се примењује формула изузетног производа:

(а² - б²) = (а - б) _* (а + б)

(5² - к²) = (5 - к) _* (5 + к)

Пример 2

Фактор 16к² + 40к + 25²

Решење

У овом случају имамо савршен квадрат сума, јер можемо да идентификујемо два термина у квадрату, а преостали термин је резултат множења два по квадратном корену првог термина, квадратним кореном другог појма..

а² + 2аб + б² = (а + б)²

За фактор се израчунавају само квадратни корени првог и трећег термина:

16 (16к²) = 4к

. (25²) = 5.

Тада су два исходна термина одвојена знаком операције, а цео полином је квадрат:

16к² + 40к + 25² = (4к + 5)².

Пример 3

Фактор 27а³ - б³

Решење

Израз представља одузимање у којем су два фактора подигнута до коцке. Да би их факторисали, примењује се формула значајног производа разлике коцке, која је:

а³ - б³ = (а-б)_*(а² + аб + б²)

Дакле, за факторизацију, кубни корен сваког термина биномног дијела се множи са квадратом првог термина, плус производ првог по другом термину, плус други појам са квадратом.

27а³ - б³

³√ (27а³) = 3а

³√ (-б³) = -б

27а³ - б³ = (3а - б) _* [(3а)² + 3аб + б²)]

27а³ - б³ = (3а - б) _* (9а² + 3аб + б²)

Факторинг са Руффинијевим правилом

Овај метод се користи када имате полином степена већег од два, да бисте поједноставили израз за неколико полинома мањег степена..

Пример 1

Фактор К (к) = к⁴ - 9к² + 4к + 12

Решење

Прво потражите бројеве који су дивизори од 12, што је независни термин; то су ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 и ± 12.

Тада се к замењује овим вредностима, од најнижег до највишег, и на тај начин се одређује са којим ће вредностима подела бити тачна; то јест, остатак мора бити 0:

к = -1

К (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1) \ т² + 4 (-1) + 12 = 0.

к = 1

К (1) = 1⁴ - 9 (1) \ т² + 4 (1) + 12 = 8. 0.

к = 2

К (2) = 2⁴ - 9 (2) \ т² + 4 (2) + 12 = 0.

И тако даље за сваки делилац. У овом случају, пронађени фактори су за к = -1 и к = 2.

Сада се примењује Руффинијева метода, према којој ће коефицијенти израза бити подељени између фактора који су нађени за поделу да би били тачни. Полиномски термини су поредани од највећег до најнижег експонента; у случају да недостаје термин са степеном који слиједи у низу, на његово мјесто се поставља 0.

Коефицијенти се налазе у шеми како се види на следећој слици.

Први коефицијент се спушта и множи са делиоцем. У овом случају, први дивисор је -1, а резултат се налази у следећој колони. Тада се вредност коефицијента додаје вертикално са добијеним резултатом и резултат се поставља испод. На тај начин се процес понавља до последње колоне.

Тада се иста процедура понавља, али са другим делиоцем (који је 2) јер се израз још увек може поједноставити.

Дакле, за сваки добивени корен, полином ће имати термин (к - а), где је "а" вредност корена:

(к - (-1)) _* (к - 2) = (к + 1) _* (к - 2)

С друге стране, ови термини морају бити помножени са остатком Руффинијевог правила 1: 1 и -6, који су фактори који представљају оцјену. На тај начин се формира израз: (к² + к - 6).

Добијање резултата факторизације полинома по Руффинијевој методи је:

к⁴ - 9к² + 4к + 12 = (к + 1) _* (к - 2) _* (к² + к - 6)

Да би се завршио, полином степена 2 који се појављује у претходном изразу може се преписати као (к + 3) (к-2). Дакле, коначна факторизација је:

к⁴ - 9к² + 4к + 12 = (к + 1) _* (к - 2)_*(к + 3)_*(к-2).

Референце

1. Артхур Гоодман, Л.Х. (1996). Алгебра и тригонометрија са аналитичком геометријом. Пеарсон Едуцатион.
2. Ј, В. (2014). Како учити децу о факторингу до полинома.
3. Мануел Морилло, А.С. (с.ф.). Основна математика са апликацијама.
4. Роелсе, П. Л. (1997). Линеарне методе за полинамску факторизацију преко коначних поља: теорија и имплементације. Университат Ессен.
5. Схарпе, Д. (1987). Прстени и факторизација.