Полиномске једначине (са решеним вежбама)

Тхе полиномске једначине су изјава која подиже једнакост два израза или чланова, при чему су најмање један од термина који чине сваку страну једнакости полиноми П (к). Ове једначине се називају према степену њихових варијабли.

Опћенито, једна једнаџба је тврдња која успоставља једнакост двају израза, гдје у барем једном од њих постоје непознате величине, које се називају варијабле или непознанице. Иако постоје многе врсте једначина, оне су генерално подељене у два типа: алгебарски и трансцендентни.

Једначине полинома садрже само алгебарске изразе, који могу имати једну или више непознаница укључених у једначину. Према експоненту (степену) они се могу сврстати у: први степен (линеарни), други степен (квадратни), трећи степен (кубни), четврти степен (квартик), већи или једнак пет и ирационалан.

Индек

• 1 Карактеристике
• 2 Типови
  • 2.1 Први разред
  • 2.2 Други степен
  • 2.3
  • 2.4 Виши разред
• 3 Вежбе решене
  • 3.1 Прва вежба
  • 3.2 Друга вјежба
• 4 Референце

Феатурес

Полиномске једначине су изрази које формира једнакост између два полинома; то јест, коначним сумама множења између вредности које су непознате (променљиве) и фиксних бројева (коефицијената), где варијабле могу имати експоненте, а њихова вредност може бити позитиван цео број, укључујући нулу.

Експоненти одређују степен или тип једначине. Тај израз израза који има највишу експонентну вриједност представља апсолутни ступањ полинома.

Полиномске једначине су такође познате као алгебарске једначине, њихови коефицијенти могу бити реални или комплексни бројеви и променљиве су непознати бројеви представљени словом, као што су: "к".

Ако у П (к) заменимо вредност за променљиву "к", резултат је једнак нули (0), онда се каже да ова вредност задовољава једнаџбу (она је решење), и генерално се назива корен полинома.

Када се развије полиномна једнаџба, желите да пронађете све корене или решења.

Типови

Постоји неколико типова полиномских једначина које се диференцирају према броју варијабли, а такође и према степену експонента..

Дакле, полиномске једначине - где је први термин полином са само једним непознатим, узимајући у обзир да његов степен може бити било који природни број (н), а други термин је нула, може се изразити на следећи начин:

а_{н *} к^н + а_{н-1 *} к^н-1 +... + а_{1 *} к¹ + а_{0 *} к₀ = 0

Где:

- а_н, а_н-1 и а₀, они су реални коефицијенти (бројеви).

- а_н разликује се од нуле.

- Експонент н је позитиван цео број који представља степен једначине.

- к је променљива или непозната која се мора тражити.

Апсолутни или већи степен полиномске једначине је тај експонент веће вредности међу свим онима који формирају полином; на тај начин, једначине су класификоване као:

Први разред

Полиномске једначине првог степена, такође познате као линеарне једначине, су оне у којима је степен (највећи експонент) једнак 1, полином је облика П (к) = 0; и састоји се од линеарног термина и независног термина. Пише се на следећи начин:

ак + б = 0.

Где:

- а и б су реални бројеви и а. 0.

- ак је линеарни израз.

- б је независни термин.

На пример, једначина 13к - 18 = 4к.

За решавање линеарних једначина сви термини који садрже непознато к морају бити прослеђени на једну страну једнакости, а они који немају се померају на другу страну, да би се очистили и добили решење:

13к - 18 = 4к

13к = 4к + 18

13к - 4к = 18

9к = 18

к = 18. 9

к = 2.

На тај начин, дата једначина има једно решење или корен, који је к = 2.

Други разред

Полиномске једначине другог степена, такође познате као квадратне једначине, су оне у којима је степен (највећи експонент) једнак 2, полином је форме П (к) = 0, и састављен је од квадратног термина , један линеарни и један независан. Изражава се на следећи начин:

ак² + бк + ц = 0.

Где:

- а, б и ц су реални бројеви и а. 0.

- ак² је квадратни израз, а "а" је коефицијент квадратног термина.

- бк је линеарни израз, а "б" коефицијент линеарног термина.

- ц је независни термин.

Ресолвент

Уопштено, решење за овај тип једначина се даје чишћењем к из једначине, и оставља се на следећи начин, који се назива резолвер:

Тамо, (б² - 4ац) се назива дискриминантом једначине и овај израз одређује број решења које једначина може да има:

- Да (б² - 4ац) = 0, једначина ће имати једно решење које је двоструко; то јест, имат ћете два једнака рјешења.

- Да (б² - 4ац)> 0, једначина ће имати два различита реална решења.

- Да (б² - 4ац) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

На пример, имате једначину 4к² + 10к - 6 = 0, да би га разрешили, прво идентификујте термине а, б и ц, а затим га замените у формули:

а = 4

б = 10

ц = -6.

Постоје случајеви у којима полиномске једначине другог степена немају три термина, и зато се решавају другачије:

- У случају да квадратне једначине немају линеарни израз (то јест, б = 0), једначина ће бити изражена као оса² + ц = 0. Да би се то ријешило, очисти се к² и квадратни корени се примењују у сваком члану, узимајући у обзир да се разматрају два могућа знака да непознато може имати:

ак² + ц = 0.

к² = - ц. а

На пример, 5 к² - 20 = 0.

5 к² = 20

к² = 20. 5

к = ± .4

к = ± 2

к₁ = 2.

к₂ = -2.

- Када квадратна једначина нема независни термин (тј. Ц = 0), једначина ће бити изражена као ак² + бк = 0. Да бисмо га ријешили, морамо извући заједнички фактор непознатог к у првом члану; пошто је једнаџба једнака нули, истина је да ће бар један од фактора бити једнак 0:

ак² + бк = 0.

к (ак + б) = 0.

На тај начин морате:

к = 0.

к = -б ÷ а.

На пример: имате једнаџбу 5к² + 30к = 0. Први фактор:

5к² + 30к = 0

к (5к + 30) = 0.

Генеришу се два фактора који су к и (5к + 30). Сматра се да ће један од њих бити једнак нули, а друго рјешење ће бити дато:

к₁ = 0.

5к + 30 = 0

5к = -30

к = -30. 5

к₂ = -6.

Мајор дегрее

Полиномске једначине већег степена су оне које иду од трећег степена па надаље, које се могу изразити или решити општом полиномном једначином за било који степен:

а_{н *} к^н + а_{н-1 *} к^н-1 +... + а_{1 *} к¹ + а_{0 *} к₀ = 0

Ово се користи зато што је једначина са степеном већим од два резултат факторизације полинома; то јест, изражава се као множење полинома степена један или више, али без правих корена.

Решење ове врсте једначина је директно, јер ће множење два фактора бити једнако нули ако је било који од фактора нул (0); дакле, свака од пронађених полиномских једначина мора бити разрешена, одговарајући сваком њеном фактору на нулу.

На пример, имате једнаџбу трећег степена (кубни) к³ + к² +4к + 4 = 0. Да би га ријешили, морају се слиједити сљедећи кораци:

- Услови су груписани:

к³ + к² +4к + 4 = 0

(к³ + к² ) + (4к + 4) = 0.

- Удови су разбијени да би добили заједнички фактор непознатог:

к² (к + 1) + 4 (к + 1) = 0

(к² + 4)_*(к + 1) = 0.

- На овај начин добијају се два фактора, који морају бити једнаки нули:

(к² + 4) = 0

(к + 1) = 0.

- Може се видети да је фактор (к² + 4) = 0 неће имати реално решење, а фактор (к + 1) = 0 да. Стога је решење:

(к + 1) = 0

к = -1.

Решене вежбе

Решите следеће једначине:

Прва вежба

(2к² + 5)_*(к - 3)_*(1 + к) = 0.

Решење

У овом случају једначина се изражава као множење полинома; то јест, он је факторисан. Да би га решио, сваки фактор мора бити једнак нули:

- 2к² + 5 = 0, нема решења.

- к - 3 = 0

- к = 3.

- 1 + к = 0

- к = - 1.

Дакле, дата једначина има два решења: к = 3 и к = -1.

Друга вежба

к⁴ - 36 = 0.

Решење

Добијен је полином, који се може преписати као разлика квадрата да би се дошло до бржег решења. Дакле, једначина остаје:

(к² + 6)_*(к² - 6) = 0.

Да бисмо пронашли решење једначина, оба фактора су једнака нули:

(к² + 6) = 0, нема решења.

(к² - 6) = 0

к² = 6

к = ± .6.

Дакле, почетна једначина има два решења:

к = .6.

к = - .6.

Референце

1. Андрес, Т. (2010). Математичка олимпијада. Спрингер. Нев Иорк.
2. Ангел, А.Р. (2007). Елементари Алгебра Пеарсон Едуцатион,.
3. Баер, Р. (2012). Линеарна алгебра и пројектна геометрија. Цоуриер Цорпоратион.
4. Балдор, А. (1941). Алгебра Хавана: Култура.
5. Цастано, Х.Ф. (2005). Математика пре обрачуна. Универзитет у Меделлину.
6. Цристобал Санцхез, М. Р. (2000). Математички приручник за олимпијску припрему. Университат Јауме И.
7. Креемли Перез, М. Л. (1984). Супериорна алгебра И.
8. Массара, Н.Ц.-Л. (1995). Математика 3.