Саррусова правила у томе шта се састоји и врсте детерминанти



Тхе Саррусова влада користи се за израчунавање резултата детерминанти од 3 × 3. Они се користе за решавање линеарних једначина и знају да ли су компатибилни.

Компатибилни системи омогућавају лакше добијање решења. Они се такође користе за одређивање да ли су скупови вектора линеарно независни и чине основу векторског простора.

Ове апликације се заснивају на инвертибилности матрица. Ако је матрица регуларна, њена детерминанта се разликује од 0. Ако је једнина, њена детерминанта је 0. Одреднице се могу израчунати само у квадратним матрицама..

Да би се израчунале матрице било ког реда, може се користити Лаплацеова теорема. Ова теорема нам омогућава да поједноставимо матрице високих димензија, у сумама малих детерминанти које разлажемо из главне матрице.

Потврђује да је детерминанта матрице једнака зброју производа сваког реда или колоне, детерминантом њене матрице.

Ово смањује детерминанте тако да детерминанта степена н постане н детерминанти н-1. Ако ово правило применимо сукцесивно, можемо добити детерминанте димензије 2 (2 × 2) или 3 (3 × 3), где је много лакше израчунати.

Саррус Руле

Пиерре Фредериц Саррус је био француски математичар 19. века. Већина његових математичких расправа заснива се на методама решавања једначина и израчунавању варијација, у оквиру нумеричких једначина.

У једној од својих расправа решио је једну од најсложенијих загонетки механике. Да би решио проблеме артикулисаних делова, Саррус је увео трансформацију алтернативних праволинијских покрета, у једнаким кружним покретима. Овај нови систем је познат као Саррусов механизам.

Најпознатије истраживање које је дао овом математичару било је у којем је увео нову методу израчунавања детерминанти у чланку "Ноувеллес метходес поур ла ресолутион дес екуатионс" (Нова метода за рјешавање једнаџби), који је објављен у 1833. године. Овај начин решавања линеарних једначина, познат је као Саррусово правило.

Правило Саррус дозвољава да се израчуна детерминанта матрице 3 × 3, без потребе да се користи Лапласова теорема, уводећи много једноставнији и интуитивнији метод. Да бисмо могли проверити вредност правила Саррус, узимамо било коју матрицу димензије 3:

Израчун његове детерминанте би био направљен производом његових главних дијагонала, одузимајући производ од инверзних дијагонала. То би било како слиједи:

Правило Сарруса омогућава нам да добијемо много једноставније виђење при израчунавању дијагонала детерминанте. То би било поједностављено додавањем прве две колоне на полеђину матрице. На овај начин можете јасније видети које су ваше главне дијагонале и које су инверзне, за израчун производа.

Кроз ову слику можемо видјети примјену Саррусова правила, укључити ред 1 и 2, испод графичког приказа почетне матрице. На овај начин, главне дијагонале су три дијагонале које се појављују на првом месту.

Три повратне дијагонале су оне које се појављују прво у леђима.

На овај начин, дијагонале се појављују на визуелнији начин, без компликовања резолуције детерминанте, покушавајући да открију који елементи матрице припадају свакој дијагонали.

Како се појављује на слици, бирамо дијагонале и израчунавамо резултујући производ сваке функције. Дијагонале које се појављују у плавом су оне које се збрајају. У суму ових, одузимамо вредност дијагонала које се појављују у црвеној боји.

Да бисмо олакшали компресију, можемо користити нумерички пример, уместо алгебарских термина и под-термина.

Ако узмемо било коју 3 × 3 матрицу, на пример:

Да бисмо применили Саррусово правило и решили га на визуелнији начин, требало би да укључимо редове 1 и 2, као ред 4 и 5 респективно. Важно је да ред 1 држите на 4. позицији, а ред 2 на 5. позицији. Јер ако их размијенимо, Саррусово правило неће бити дјелотворно.

Да бисмо израчунали детерминанту, наша матрица би изгледала овако:

Да бисмо наставили са израчунавањем, помножимо елементе главних дијагонала. Силазни они који почињу лево, имају позитиван знак; док реверзне дијагонале, које су оне које почињу са десне стране, носе негативни знак.

У овом примеру, плави би ишли са позитивним знаком, а црвени са негативним предзнаком. Коначни израчун Саррус правила би изгледао овако:

Врсте детерминанти

Одредница димензије 1

Ако је димензија матрице 1, матрица је овог облика: А = (а)

Дакле, његова детерминанта би била: дет (А) = | А | = а

Укратко, детерминанта матрице А је једнака апсолутној вриједности матрице А, која је у овом случају а.

Одредница димензије 2

Ако пређемо на матрице димензије 2, добијамо матрице типа:

Где је његова детерминанта дефинисана као:

Резолуција ове детерминанте заснива се на умножавању његове главне дијагонале, одузимајући производ од његове инверзне дијагонале.

Као мнемоничко правило, можемо користити следећи дијаграм да запамтимо његову детерминанту:

Одредница димензије 3

Ако је димензија матрице 3, резултујућа матрица би била овог типа:

Одредница ове матрице би се решила кроз Саррусово правило на овај начин:

Референце

  1. Јенни Оливе (1998) Математика: Водич за преживљавање студената. Цамбридге Университи Пресс.
  2. Рицхард Ј. Бровн (2012) 30-Сецонд Матхс: 50 Тхе Минд-Екпандинг Тхеориес ин Матхематицс. Иви Пресс Лимитед.
  3. Даве Киркби (2004) Математика Цоннецт. Хеинеманн.
  4. Авол Ассен (2013) Студија о израчунавању детерминанти матрице 3 × 3. Лап Ламберт Ацадемиц Публисхинг.
  5. Антхони Ницолаидес (1994) Детерминанте и матрице. Пасс Публицатион.
  6. Јессе Русселл (2012).
  7. М. Цастелеиро Виллалба (2004) Увод у линеарну алгебру. ЕСИЦ Едиториал.