3 Системи линеарних једначина и како их решити

Тхе линеарне једначине оне су полиномске једначине са једном или више непознаница. У овом случају, непознанице нису уздигнуте до моћи, нити се међусобно умножавају (у овом случају се каже да је једначина степена 1 или првог степена).

Једнаџба је математичка једнакост у којој постоји један или више непознатих елемената које ћемо назвати непознатим или непознатим у случају да их има више. Да би се решила ова једначина неопходно је сазнати вредност непознаница.

Линеарна једначина има следећу структуру:

а₀· 1 + а₁· Кс₁+ а₂· Кс₂+... + а_н· Кс_н= б

Где?₀, а₁, а₂,..., а_н су реални бројеви за које знамо њихову вредност и називају се коефицијенти, б је такође познати реални број који се назива независни термин. И на крају су Кс₁, Кс_2,..., Кс_н које су познате као непознанице. То су варијабле чија је вриједност непозната.

Систем линеарних једначина је скуп линеарних једначина у којима је вредност непознаница иста у свакој једначини.

Логично, начин за решавање система линеарних једначина је додељивање вредности непознаницама, тако да се једнакост може верификовати. То јест, непознанице се морају израчунати тако да се све једнаџбе система испуне истовремено. Представљамо систем линеарних једначина како следи

а₀· 1 + а₁· Кс₁ + а₂· Кс₂ +... + а_н· Кс_н = а_{н + 1}

б₀· 1 + б₁· Кс₁ + б₂· Кс₂ +... + б_н· Кс_н = б_{н + 1}

ц₀· 1 + ц₁· Кс₁ + ц₂· Кс₂ +... + ц_н· Кс_н = ц_{н + 1}

... .

д₀· 1 + д₁· Кс₁ + д₂· Кс₂ +... + д_н· Кс_н = д_{н + 1}

 где а_0, а₁,..., а_н,б₀,б₁,..., б_н ,ц₀ ,ц₁,..., ц_н итд. стварни бројеви и непознанице које треба ријешити су Кс₀,..., Кс_н ,Кс_{н + 1}.

Свака линеарна једначина представља линију и стога систем једнаџби Н линеарних једначина представља Н у равном цртежу у простору.

У зависности од броја непознаница које свака линеарна једначина има, линија која представља поменуту једначину ће бити представљена у другој димензији, то јест, једначину са две непознате (на пример, 2 · Кс).₁ + Кс₂ = 0) представља линију у дводимензионалном простору, једначину са три непознанице (на пример 2 · Кс₁ + Кс₂ - 5 · Кс₃ = 10) било би представљено у тродимензионалном простору и тако даље.

При решавању система једначина, вредности Кс₀,..., Кс_н ,Кс_{н + 1} десило се да су то тачке пресека између линија.

Решавањем система једначина можемо доћи до различитих закључака. У зависности од типа резултата које добијамо, можемо разликовати три типа система линеарних једначина:

1- Неодређена компатибилност

Иако може звучати као шала, могуће је да када покушамо ријешити систем једнаџби, доћи ћемо до очигледности стила 0 = 0.

Ова врста ситуације се дешава када постоје бесконачна решења за систем једнаџби, а то се дешава када се испостави да у нашем систему једнаџби једначине представљају исту линију. Можемо га видјети графички:

Као систем једнаџби узмемо:

Имамо 2 једнаџбе са 2 непознанице које можемо ријешити и можемо представити линије у дводимензионалној равнини

Као што можемо видети линије са истим, све тачке прве једначине подударају се са онима из друге једначине, тако да има онолико тачака пресека колико и тачке које линија има, тј..

2 - Некомпатибилно

Када читамо име можемо замислити да наш следећи систем једначина неће имати решење.

Ако покушамо да решимо, на пример, овај систем једначина

Графички би то било:

Ако множимо све појмове друге једначине, добијемо да је Кс + И = 1 једнако 2 · Кс + 2 · И = 2. И ако се овај последњи израз одузме од прве једначине, добијамо

2 · Кс-2 · Кс + 2 · И -2 · И = 3-2

Или шта је исто

0 = 1

Када се налазимо у овој ситуацији то значи да су линије које су представљене у систему једнаџби паралелне, што значи да по дефиницији, оне се никада не режу и не постоји точка пресека. Када је систем представљен на овај начин, каже се да је он недоследан.

3 - Одлучна подршка

Коначно долазимо до случаја у којем наш систем једначина има једно решење, случај у коме имамо линије које се укрштају и генеришу тачку пресека. Да видимо пример:

Да бисмо га решили, можемо додати две једнаџбе тако да добијемо

(3 · Кс-4 · И) + (2 · Кс + 4 · И) = -6 + 16

Ако поједноставимо, отишли ​​смо

5 · Кс + 0 · И = 5 · Кс = 10

Из чега се лако може закључити да је Кс = 2 и да замењује или Кс = 2 у било којој од оригиналних једначина добијамо И = 3.

Визуално би то било:

Методе решавања система линеарних једначина

Као што смо видели у претходном одељку, за системе са 2 непознанице и 2 једначине, засноване на једноставним операцијама као што су збрајање, одузимање, множење, дељење и замена, можемо их решити за неколико минута. Али ако покушамо да применимо ову методологију на системе са више једначина и више непознаница, прорачуни постају досадни и лако можемо да грешимо.

Да би се поједноставили прорачуни, постоји неколико метода рјешавања, али су несумњиво да су најраширеније методе Крамерово правило и елиминација Гаусс-Јордана..

Црамер метход

Да би се објаснило како се овај метод примењује, неопходно је знати шта је његова матрица и знати како пронаћи њену детерминанту, направимо заграду да дефинишемо ова два појма..

Један матрик то није ништа друго него скуп бројева или алгебарских симбола постављених у хоризонталним и вертикалним линијама и распоређених у облику правоугаоника. За нашу тему користит ћемо матрицу као поједностављени начин изражавања нашег система једнаџби.

Да видимо пример:

То ће бити систем линеарних једначина

Овај једноставни систем једначина које можемо сажети је рад двају 2 × 2 матрица које резултирају у 2 × 1 матрици..

Прва матрица одговара свим коефицијентима, друга матрица је непознаница коју треба ријешити, а матрица лоцирана након једнакости идентифицирана је независним члановима једнаџби.

Тхе детерминанта је операција која се примењује на матрицу чији резултат је стварни број.

У случају матрице коју смо пронашли у нашем претходном примеру, његова детерминанта би била:

Када су дефинисани концепти матрице и детерминанте, можемо објаснити из чега се састоји Црамер-ова метода.

Овим методом лако можемо решити систем линеарних једначина све док систем не прелази три једнаџбе са три непознанице, јер је израчунавање детерминанти матрице веома тешко за матрице од 4 × 4 или више. У случају да постоји систем са више од три линеарне једначине, препоручује се метода елиминације Гаусс-Јордана.

Настављајући са претходним примером, помоћу Црамер-а једноставно морамо да израчунамо две детерминанте и са њом ћемо наћи вредност наше две непознанице..

Ми имамо наш систем:

И имамо систем представљен матрицама:

Пронађена је вредност Кс:

Једноставно у прорачуну детерминанте која се налази у имениоцу поделе, прва комуна смо заменили матрицом независних термина. А у имениоцу поделе имамо детерминанту наше оригиналне матрице.

Извршавајући исте израчуне да пронађемо И добијамо:

Елиминација Гаусс-Јордана

Ми дефинишемо ектендед матрик матрици која произилази из система једначина где додајемо независне изразе на крају матрице.

Метода елиминације Гаусс-Јордана састоји се, помоћу операција између редова матрице, за трансформацију наше проширене матрице у много једноставнију матрицу у којој имам нуле у свим пољима осим у дијагонали, где морам да добијем неке. Као што следи:

Где су Кс и И реални бројеви који одговарају нашим непознаницама.

Хајде да решимо овај систем елиминишући Гаусс-Јордан:

Већ смо успели да добијемо нулу у доњем левом делу наше матрице, следећи корак је да добијемо 0 у горњем десном делу..

Постигли смо 0 у горњем левом делу матрице, сада морамо само да конвертујемо дијагонале у оне и већ смо решили наш систем од стране Гаусс-Јордана..

Стога долазимо до закључка да:

Референце

1. витутор.цом.
2. алгебра.ус.ес.
3. Системи линеарних једначина (без датума). Опорављено од уцо.ес.
4. Системи линеарних једначина. Поглавље 7. (без датума). Преузето са сауце.пнтиц.мец.ес.
5. Линеарна алгебра и геометрија (2010/2011). Системи линеарних једначина. Поглавље 1. Одељење за алгебру. Универзитет у Севилли. Шпанија Опорављен из алгебра.ус.ес.