Техничке технике бројања, апликације и примери



Тхе технике бројања је низ метода вјероватноће за бројање могућег броја аранжмана унутар скупа или неколико скупова објеката. Они се користе када се рачуни ручно компликују због великог броја објеката и / или варијабли.

На пример, решење овог проблема је веома једноставно: замислите да ваш шеф тражи од вас да пребројите последње производе који су стигли у последњих сат времена. У овом случају можете ићи и бројати производе један по један.

Међутим, замислите да је проблем у овоме: ваш шеф вас пита да пребројите колико група од 5 производа истог типа може да се формира са онима који су стигли последњег сата. У овом случају рачунање постаје компликовано. За ову врсту ситуације користе се тзв. Технике бројања.  

Ове технике су неколико, али најважније су подељене у два основна принципа, који су мултипликативни и адитивни; пермутације и комбинације.

Индек

  • 1 мултипликативни принцип
    • 1.1 Апликације
    • 1.2 Пример
  • 2 Принцип адитива 
    • 2.1 Апликације
    • 2.2 Пример
  • 3 Пермутатионс
    • 3.1 Апликације
    • 3.2 Пример
  • 4 Комбинације
    • 4.1 Апликације
    • 4.2 Пример
  • 5 Референце 

Мултипликативни принцип

Апплицатионс

Мултипликативни принцип, заједно са адитивом, су основни за разумевање рада техника бројања. У случају мултипликативног, он се састоји од следећег:

Замислите активност која укључује одређени број корака (укупна вредност је означена као "р"), где први корак може бити направљен од Н1 облика, другог корака Н2 и корака "р" од Нр облика. У овом случају, активност се може обавити из броја облика који су резултат ове операције: Н1 к Н2 к ... .к Нр форм

Због тога се овај принцип назива мултипликативан и подразумијева да сваки од корака који су потребни за обављање активности мора бити учињен један за другим. 

Пример

Замислимо особу која жели да изгради школу. Да бисте то урадили, узмите у обзир да се база зграде може конструисати на два различита начина, цемент или бетон. Што се тиче зидова, они могу бити од адобе, цемента или цигле.

Што се тиче крова, он може бити израђен од цемента или поцинчаног лима. Коначно, завршно сликање се може урадити само на један начин. Питање које се поставља је следеће: Колико школа треба да изгради??

Прво ћемо размотрити број степеница, који би били база, зидови, кров и слика. Укупно 4 корака, р = 4.

Следи попис Н:

Н1 = начини изградње базе = 2

Н2 = начини изградње зидова = 3

Н3 = начини израде крова = 2

Н4 = начини израде боје = 1

Према томе, број могућих форми би се израчунао помоћу горе описане формуле:

Н1 к Н2 к Н3 к Н4 = 2 к 3 к 2 к 1 = 12 начина завршавања школе.

Адитивни принцип

Апплицатионс

Овај принцип је веома једноставан, и то је да, у случају постојећих неколико алтернатива за обављање исте активности, могући начини се састоје од сума различитих могућих начина да се направе све алтернативе.

Другим речима, ако желимо да спроведемо активност са три алтернативе, где се прва алтернатива може обавити у М облицима, друга у Н образаца и последња у В облицима, активност може бити: М + Н + ... + В облици.

Пример

Замислите овај пут особа која жели купити тениски рекет. За то има три бренда: Вилсон, Баболат или Хеад.

Када оде у продавницу види да Вилсон рекет може да се купи са дршком две различите величине, Л2 или Л3 у четири различита модела и може бити натегнут или без жице.

Баболат рекет, с друге стране, има три ручке (Л1, Л2 и Л3), постоје два различита модела и може бити натегнут или без жице.

С друге стране, главни рекет је само са једном дршком, Л2, у два различита модела и само без жице. Питање је: на који начин ова особа мора да купи свој рекет??

М = Број начина за одабир Вилсон рекета

Н = Број начина за избор Баболат рекета

В = Број начина за избор рекета за главу

Правимо принцип мултипликатора:

М = 2 к 4 к 2 = 16 облика

Н = 3 к 2 к 2 = 12 облика

В = 1 к 2 к 1 = 2 форме

 М + Н + В = 16 + 12 + 2 = 30 начина да изаберете рекет.

Да бисте знали када користити мултипликативни принцип и адитив, само треба да погледате да ли активност има низ корака које треба извршити, и ако постоји неколико алтернатива, адитив.

Пермутације

Апплицатионс

Да би се разумело шта је пермутација, важно је објаснити шта је комбинација да би их се разликовало и сазнало када их треба користити.

Комбинација би била распоред елемената у којима нас не занима позиција коју свака од њих заузима.

Пермутација, с друге стране, би била распоред елемената у којима смо заинтересовани за позицију коју свака од њих заузима.

Хајде да дамо пример да боље разумемо разлику.

Пример

Замислите разред са 35 ученика и са следећим ситуацијама:

  1. Наставник жели да му троје његових ученика помогне да одржи час чистим или да достави материјале другим ученицима када му је то потребно.
  2. Наставник жели именовати делегате разреда (предсједника, асистента и финансијера).

Решење би било следеће:

  1. Замислите да су гласањем Јуан, Мариа и Луциа изабрани за чишћење класе или испоруку материјала. Очигледно је да су се могле формирати и друге групе од по три особе, међу 35 могућих студената.

Морамо се запитати: да ли је важно да ред или позиција коју сваки од ученика заузима у тренутку њиховог избора??

Ако размислимо о томе, видимо да то заиста није важно, јер ће група водити рачуна о оба задатка једнако. У овом случају, то је комбинација, јер нас не занима позиција елемената.

  1. Сада замислите да је Јохн изабран за председника, Мариа као асистент и Луциа као финансијска.

У овом случају, да ли би налог био важан? Одговор је да, јер ако промијенимо елементе, резултат се мијења. То јест, ако уместо да га ставимо на место председника, ставимо га као помоћника, а Марију као председника, коначни резултат би се променио. У овом случају то је пермутација.

Када се разлика схвати, добићемо формуле пермутација и комбинација. Међутим, прво морамо дефинисати појам "н!" (У факторијалу), јер ће се користити у различитим формулама.

н! = на производ от 1 до н.

н! = 1 к 2 к 3 к 4 к ... к н

Користећи га са стварним бројевима:

10! = 1 к 2 к 3 к 4 к ... к 10 = 3,628,800

 5! = 1 к 2 к 3 к 4 к ... к 5 = 120

Формула за пермутације би била следећа:

нПр = н! / (н-р)!

Њиме можемо сазнати аранжмане у којима је ред важан, и гдје су н елемената различити.

Комбинације

Апплицатионс

Као што смо раније коментирали, комбинације су аранжмани у којима нам није стало до положаја елемената.

Његова формула је следећа:

нЦр = н! / (н-р)! р!

Пример

Ако има 14 ученика који желе волонтирати за чишћење учионице, колико група чишћења свака група може да формира 5 особа??

Рјешење би, дакле, било сљедеће:

н = 14, р = 5

14Ц5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 к 13 к 12 к 11 к 10 к 9! / 9! 5! = 2002 группи

Референце

  1. Јеффреи, Р.Ц.., Вјероватноћа и умјетност просуђивања, Цамбридге Университи Пресс. (1992).
  2. Виллиам Феллер, "Увод у теорију вероватноће и њене примене."", (Вол 1), 3рд Ед, (1968), Вилеи
  3. Финетти, Бруно де (1970). "Логичке основе и мерење субјективне вероватноће". Псицхологицал Ацт.
  4. Хогг, Роберт В.; Цраиг, Аллен; МцКеан, Јосепх В. (2004). Увод у математичку статистику (6. изд.). Уппер Саддле Ривер: Пеарсон.
  5. Франклин, Ј. (2001) Наука претпоставке: Докази и вероватноћа пре Паскала,Јохнс Хопкинс Университи Пресс.